Применение аналитической геометрии в экономике

Понятие арифметического точечного пространства. Различные виды плоскостей в пространстве. Общая задача оптимизации. Геометрия задачи линейного программирования. Графический метод решения задачи линейного программирования при малом количестве переменных.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ бюджетное

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«АМУРСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «АмГПГУ»)

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ЭКОНОМИКЕ

Направление: 010200 «Математика и компьютерные науки»

Курсовая работа

Демина Ольга Евгеньевна

Комсомольск-на-Амуре, 2013



Работа выполнена на кафедре математики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Амурский гуманитарно-педагогический государственный университет»

Научный руководитель: Леднёва Е. А. старший преподаватель кафедры математики

Защита курсовой работы состоится: « 28 » мая 2013 г. в 13ч. 20 мин.

Оценка ___________________ __________________________

(подпись руководителя)



ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Элементы аналитической геометрии

1.1 Арифметическое точечное пространство

1.2 Прямая в Отрезок

1.3 Различные виды плоскостей в пространстве

Глава 2. Линейное программирование

2.1 Общая задача оптимизации. Линейное программирование

2.2 Геометрия задачи линейного программирования

2.3 Строение множества оптимальных решений

2.4 Графический метод решения задачи линейного программирования при малом количестве переменных

Заключение

Библиографический список



Введение

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики оказался универсальным, и это есть объективное отражение универсальности законов окружающего нас многообразного мира.

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен Адама Смита пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число математических методов. Современная экономика использует специальные методы оптимизации, составляющие основу математического программирования, сетевого планирования, теории массового обслуживания и других прикладных наук.

Изучение математических дисциплин и их экономических приложений, составляющих основу актуальной экономической математики, позволит будущему специалисту не только приобрести необходимые базовые навыки, используемые в экономике, но и сформировать компоненты своего мышления: уровень, кругозор и культуру. Все это понадобится для успешной работы и для ориентации в будущей профессиональной деятельности.



Глава 1. Элементы аналитической геометрии

1.1 Арифметическое точечное пространство

Определение 1.

Любую последовательность (, , …, ) из n чисел будем называть арифметической точкой, а сами числа , , …, - координатами этой точки.

Арифметические точки будем обозначать А, В, … . Например

А=(-1, 6, 7, 0) - арифметическая точка, имеющая четыре координаты. Точку (0, 0, … , 0) будем называть началом координат и обозначать О.

Определение 2.

Пусть А и В - две арифметические точки с одним и тем же числом n координат:

А=(, , …, ), В=(, , …, ).

Будем называть вектором арифметический вектор

(, , , …, )

И говорить, что точка А есть начало, а точка В - конец вектора

Иначе говоря, координаты вектора равны разностям между

соответствующими координатами конца и начала вектора. Очевидно, какова бы ни была точка А, координаты вектора совпадают с координатами самой точки А.

Определение 3.

Множество всех арифметических точек с n координатами, в которым каждым двум точкам А и В указным выше способом сопоставлен вектор , называют n-мерным арифметическим точечным пространством и обозначают (n-мерное аффинное пространство).

Теорема.

Для любых трех точек А, В, С из справедливо равенство:

+=

Доказательство.

Имеем:

Теорема доказана.

Одним из важнейших «геометрических» понятий, связанных с

пространством , является операция, называемая «откладывание вектора от точки».

Определение 4.

Пусть А=(, , …, ) точка из и =(,…, ) - вектор из . Отложить вектор от точки А означает найти такую точку В, что бы выполнялось равенство =. (Рис. 1)

Рис. 1

Таким образом, имеем:

=+=+

Или в координатах: координаты точки В получаются из координат точки А прибавлением соответствующих координат вектора .

1.2 Прямая в Отрезок

линейный программирование графический оптимизация

Определение 1.

Пусть - фиксированная точка из и - фиксированный вектор из , отличный от 0. Множество точек вида

(1)

Где t - любое число, называется прямой проходящей через точку по направлению вектора или просто прямой.

Если , то равенство (1)

запишется в виде набора равенств

(2)

Равенства (2) называют параметрическими уравнениями прямой (t -

параметр, t), вектор - направляющим вектором прямой.

Определение 2.

Пусть две точки из . Отрезком назовем множество точек Х вида:



(3)

Где t принимает любое значение из промежутка [0 ; 1]

Таким образом, отрезок есть часть прямой, когда в качестве направляющего вектора берется вектор а t изменяется только от 0 до 1 (Рис.2)

Рис. 2

Теорема (об отрезке).

Отрезок состоит из точек Х, для которых справедливо равенство:

(4)

Где s - любое число из [0 ; 1].

Доказательство.

Из равенства (4) имеем , откуда следует

Полагая, что 1- t=s, приходим к равенству (4), где s [0 ; 1].

Теорема доказана.

1.3 Различные виды плоскостей в пространстве

К числу основных «геометрических» образов в , кроме прямых,

относятся еще и плоскости. Однако если при n=3 имеется лишь один вид плоскостей, то при n>3 возможны плоскости различных типов: одномерные, двухмерные, трехмерные и т. д.

Определение 1.

Пусть k - натуральное число, - фиксированная точка в и , , …, - фиксированный набор линейно независимых векторов из . Множество точек Х вида:

(5)

Где , , … , - любые числа, называется k-мерной плоскостью в .

К этому определению мы могли бы добавить условие kn.

Действительно, в пространстве просто не существует линейно независимых систем векторов с числом векторов, большим, чем n. Случай kn тоже не интересен, так как n-мерная плоскость совпадает со всем пространством . Действительно, если , , …, - линейно независимая система векторов в , то это - базис в и поэтому любой вектор может быть представлен в виде + … +. Но тогда имеем где - любой вектор из , т. е. Х может быть любой точкой из .

Итак в определении k-мерной плоскости в можно считать

1.

Особое значение имеют два вида плоскостей: одномерные (k=1) и

(n-1) - мерные (k=n-1), т. е. плоскости минимально возможной размерности и плоскости максимально возможной размерности. Одномерные плоскости - это прямые в . Плоскости размерности носят название гиперплоскостей.

Теорема.

Любая гиперплоскость в пространстве состоит из точек Х=(, , … , ), координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению первой степени:

+…++b=0,

где , … ,, b - фиксированные числа, причем не все , … , равны нулю.

Доказательство. (проведем его для случая n=3)

Пусть Г - гиперплоскость в , т. е. множество точек Х вида:

(6)

где векторы и линейно независимы. Переписав равенство (6) в виде:

мы видим, что векторы линейно зависимы. Но условием зависимости трех векторов в является равенство нулю определителя из координат этих векторов. Полагая, что =(,) и =(,), можем записать

(7)

или

(8)

где

Раскрывая скобки в (8), приходим к уравнению

++b=0

где , что и требовалось доказать.



Глава 2. Линейное программирование

2.1 Общая задача оптимизации. Линейное программирование

На практике постоянно встречаются такие...