Построение и исследование имитационных моделей

Построение имитационной модели системы массового обслуживания с дисциплиной обслуживания FIFO, варьируемыми входными факторами (число устройств, емкость накопителя) и возможностью визуализации процесса функционирования системы. Построение генераторов.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

1. Обзор аналогов

Под системой массового обслуживания понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания случайного потока заявок при ограниченных ресурсах системы. Система массового обслуживания состоит из некоторого числа обслуживающих единиц или каналов, работа которых состоит в выполнении поступающих по этим каналам заявок. В таблице 1 приведены примеры систем массового обслуживания.

Таблица 1 - Примеры СМО

СМО	Заявки	Каналы
Автозаправочная станция	Автомобили	Колонки
Магазин самообслуживания	Покупатели	Кассы
Производственный конвейер по обработке деталей	Детали, узлы	Станки, склады
Телефонная станция	Абоненты	Телефонистки
Автобусный маршрут перевозки пассажиров	Пассажиры	Автобусы



2. Выбор входных распределений и построение генераторов

2.1 Выбор входных распределений

Для создания системы нам необходимо выбрать законы для двух входных распределений - времени поступления требований и времени обработки требований. Оба этих потока являются простейшими потоками, так как обладают следующими свойствами:

- Стационарность: вероятность появления определенного числа событий в некотором интервале не зависит от начала отсчета, а зависит только от длины интервала.

- Отсутствие последствий: для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

- Ординарность: вероятность попадания на элементарный участок  двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Интервалы постоянства функции, являющейся простейшим потоком, подчинены экспоненциальному закону.

Таким образом, при моделировании мы генерируем две экспоненциально распределенные псевдослучайные последовательности с заданными средними значениями и .

2.2 Построение генераторов

Чтобы смоделировать экспоненциально распределенную случайную величину сначала генерируется стандартно равномерно распределенная случайная величина , которая затем преобразуется в величину с экспоненциальным законом распределения согласно формуле 1:



(1)

где математическое ожидание равно .

Для генерации равномерно распределенной случайной величины будем использовать линейный конгруэнтный генератор мультипликативного типа:

(2)

где a и m - константы.

2.3 Проверка генераторов

2.3.1 Оценки средних значений

Оценка математического ожидания случайных величин X вычисляется по формуле 3:

(3)

где n - число элементов в последовательности.

Для случайных величин A и S оценки математического ожидания соответственно равны:

(A) = 20.4376

(S) = 59.5722

Оценка дисперсии случайной величины X вычисляется по формуле 4:

(4)



Для случайных величин A и S оценки дисперсии соответственно равны:

(A) = 451.9016

(S) = 3709.4

На рисунках 1 и 2 представлены графики зависимости последующего значения от предыдущего для генераторов A и S соответственно.

Рисунок 1 - Зависимость (Ai, Ai+1)

Рисунок 2 - Зависимость (Si, Si+1)

2.3.2 Интервальные оценки

Для математического ожидания доверительный интервал определяется формулой 5:



(5)

где n - число элементов, - квантиль стандартного нормального закона распределения (равен 1,96 для доверительной вероятности 0,95), ( - оценка дисперсии).

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания случайных величин A и S равны соответственно:

(19.12; 21.7552), (А) = 20 попадает в доверительный интервал.

(55.7973; 63.3471), (S) = 60 попадает в доверительный интервал.

2.3.3 Метод гистограмм

На рисунках 3 и 4 изображены гистограммы плотностей распределения генераторов A и S.

Рисунок 3 - Функция плотности распределения генератора А



Рисунок 4 - Функция плотности распределения генератора S

По этим гистограммам видно, что случайные величины A и S распределены по экспоненциальному закону.

На рисунках 5 и 6 представлены графики функций распределения величин A и S.

Рисунок 5 - Функция распределения случайной величины А



Рисунок 6 - Функция распределения случайной величины S

имитационный генератор визуализация

2.3.3 Метод хи-квадрат

Выдвигаем гипотезу о том, что случайные величины A и S распределены экспоненциально с математическим ожиданием 20 и 60 соответственно. Проверку этой гипотезы осуществим с помощью метода ² .

Для этого разобьем ось на 20 интервалов, вероятность попадания значения в каждый из которых приблизительно одинакова. Границы этих интервалов для величин A и S будут рассчитываться по формулам 6 и 7 соответственно:

(6)

(7)

Статистическая функция вычисляется по формуле 8:

(8)



Где n_i - это частота попадания в k -й интервал, p_i - вероятность попадания, которая вычисляется по формуле 9:

(9)

Если , то гипотеза принимается, если, гипотеза отвергается. Для k = 19 и б = 0.05, критерий ² = 30,1435.

В результате были получены следующие значения Z_A=13,32 и Z_S=20,60. Обе гипотезы принимаются. Таблица с данными расчетов для метода ² представлена в приложении А.



3. Логика работы и интерфейс системы

3.1 Логика работы системы

Логика работы системы представлена в виде блок-схемы на рисунке 7.

Рисунок 7 - Логика работы системы

Пункт «Модификация очереди в соответствии с наступившим системным событием» вынесен в отдельную блок-схему, которая представлена на рисунке 8.



Рисунок 8 - Модификация очереди

3.2 Интерфейс системы

Основные элементы интерфейса:

- Поля для ввода входных параметров (по умолчанию в них поставлены значения, указанные в техническом задании): количество требований, количество устройств (по умолчанию 4), емкость накопителя (по умолчанию 36), среднее время поступления требований (по умолчанию 20), среднее время обработки требований (по умолчанию 60), начальные значения генераторов.

- Результаты моделирования: коэффициент использования системы, среднее время ожидания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе, среднее по времени число требований в очереди, среднее по времени число требований в системе, абсолютная пропускная способность, относительная пропускная способность.

- Кнопки для отображения графиков.

- Поле для визуализации.

- Кнопка запуска программы.

Интерфейс программы представлен на рисунке 9.

Рисунок 9 - Интерфейс программы



4. Планирование и проведение экспериментов

4.1 Статистический анализ выходных данных моделирования

Для вычисления количества экспериментов для каждой точки факторного плана было проведено 10 экспериментов со значениями по умолчанию (количество устройств - 4, среднее время поступления требований - 20, среднее время обработки требований - 60, емкость накопителя - 36). Для каждого из выходных параметров количе...