Осуществление заданных движений динамических систем с минимальной энергией

Описание подхода по использованию методов оптимального управления для задачи следящих систем. Сопровождающая линейно-квадратичная задача оптимального управления. Свойства и алгоритм построения оптимальной стартовой обратной связи и дискретного управления.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный університет имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра вычислительной математики и программирования

Дипломная работа

Осуществление заданных движений динамических систем с минимальной энергией

Исполнитель

студент группы ПМ - 52

Д.А. Синица

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук,

А.В. Лубочкин

Гомель 2013



Введение

Задача осуществления заданных движений - одна из основных задач классической теории автоматического регулирования и относится к задачам теории следящих систем. Она наряду с задачами стабилизации и демпфирования стала одним из источников возникновения современной теории управления и, в частности, теории оптимального управления.

Цель настоящей работы - описать подход по использованию методов оптимального управления для задачи следящих систем.

Методами оптимального управления строится алгоритм работы регулятора, реализующего в режиме реального времени обратные связи, которые обеспечивают перевод системы из окрестности одного состояния равновесия в окрестность другого с высоким качеством переходного процесса и стабилизируют систему относительно нового состояния равновесия. Для решения этой задачи предлагается использовать реализацию оптимальной обратной связи линейно-квадратичных задач с ограничениями.



1. Обзор литературы

Согласно [1], “Автоматическим регулированием называется процесс поддержания или изменения по заданным условиям какой-нибудь величины в машинах, аппаратах или иных технических устройствах”. Построение первого типа процессов называют задачей регулирования, второго - задачей слежения.

Задачи теории управления делятся на два класса: задачи с бесконечным горизонтом управления и задачи с конечным горизонтом. Задачи первого класса были типичными для классической (линейной) теории регулирования, в которой центральное место занимают задача регулирования и задача следящих систем (задача о сервомеханизмах). На базе этих задач в конце 40-х годов XX века возникла современная теория управления, в которой стали исследоваться нелинейные задачи управления на конечном промежутке времени. Среди этих задач центральное место заняли задачи оптимального управления. Естественен вопрос, что дают методы оптимального управления для решения классических задач теории регулирования, актуальность которых несомненна и в наши дни. В [2] описан подход по использованию методов оптимального управления для решения задачи регулирования. Методы оптимального управления позволяют при решении классических задач теории регулирования, с одной стороны, создавать обратные связи с ограниченными сигналами, а с другой обеспечивать высокое качество переходных процессов с точки зрения заданных критериев качества. В рамках линейных обратных связей классической теории регулирования добиться этого невозможно.

Задача осуществления движений [3] относится к основным задачам теории следящих систем [4]. В силу своего большого прикладного значения она весьма тщательно исследована в теории управления. Основные методы устойчивого слежения базируются на классическую теорию устойчивости движения [5]. Выбирая подходящую структуру обратных связей и используя достаточные условия асимптотической устойчивости, инженеры виртуозно строят разнообразные следящие системы.

Теория оптимального управления [6] может существенным образом расширить арсенал средств теории следящих систем. Прежде всего, в ее рамках можно естественным образом учитывать ограничения на управляющие сигналы, что имеет важное значение для многих приложений. Далее, она не требует задания структуры обратной связи, а получает ее как решение экстремальной задачи. Наконец, методы теории оптимального управления позволяют не только устойчиво осуществлять движения, но и добиваться высокого качества переходных процессов. Длительное время применение теории оптимального управления для разработки следящих систем сдерживалось отсутствием эффективных методов синтеза оптимальных систем. В начале 90-х годов авторы [7] предложили новый подход к проблеме конструирования оптимальных обратных связей, на базе которого впоследствии были построены стабилизаторы для устойчиво функционирующих динамических систем в окрестности состояний равновесия [8]. Этим же методом была решена [9] классическая задача регулирования [4]. Однако, при использовании результатов теории оптимального управления и теории стабилизации для решения исходной задачи возникают определенные трудности. Во-первых, задача точного (или с заданной точностью) перевода системы в окрестность нового состояния равновесия за фиксированное время не очень естественна для систем, функционирование которых не прекращается после достижения цели и протекает в условиях постоянно действующих возмущений. Во-вторых, трудно задать момент перехода от решения первой задачи (оптимального управления) к решению второй задачи (стабилизации). В-третьих, в теории оптимального управления основные результаты получены в форме ограниченных программных управлений, которые не характерны ни для теории стабилизации, ни для классической теории автоматического регулирования, решающих свои задачи созданием подходящих обратных связей (правда, без учета ограничений на значения управления). В данной работе упомянутый подход описывает вторую классическую задачу теории регулирования - задачу следящих систем. С целью ее решения мы будем использовать линейно-квадратичную задачу.

2. Постановка задачи осуществления заданных движений

Пусть на промежутке времени динамическая система с управлением описывается уравнением

(2.1)

Где

п - вектор состояния системы в момент ,

значение скалярного управляющего воздействия,

.

Будем считать, что доступные управления стеснены неравенством

.

Наряду с уравнением (2.1) рассмотрим движение на фазовой плоскости

(2.2)

заданное кусочно-гладкой функцией .

Будем говорить, что движение (2.2) допустимо (осуществимо), если существует такое доступное управление

,

Что

Пусть - область фазового пространства системы (2.1), внутренность которой содержит движение (2.2):

Определение. Функция

(2.3)

называется ограниченной обратной связью, осуществляющей движение (2.2), если

1)

2)

3) замкнутая система

(2.4)

имеет решение ;

4) решение системы (2.4) асимптотически устойчиво.

При фактическом построении обратной связи для следящих систем стараются дополнительно обеспечить следующие свойства;

5) область притяжения G достаточно большая;

6) переходный процесс

обладает хорошими в определенном смысле характеристиками.

Синтез обратных связей (2.3), обладающих перечисленными свойствами, и есть основная задача теории следящих систем, или другими словами, составляет суть задачи осуществления движения.

Следуя концепции Ляпунова из классической теории устойчивости о невозмущенном возмущенном движениях, приведем другую (эквивалентную) постановку задачи осуществления движений.

Опираясь на уравнение (2.1) (невозмущенного движения) и заданное движение, введем новые переменные

Их поведение подчиняется уравнению (возмущенного движения)

(2.5)

и неравенствам -

В результате, задача устойчивого осуществления движения (2.2) системой (2.1) с постоянным ограничением на управление свелась к задаче стабилизации тривиального решения

системы (2.5) управлениями с переменными (во времени) ограничениями.

Замечания:

1) Если движение (2.2) представляет состояние равновесия

с управлением

то задача осуществления движения называется классической задачей регулирования [4] и в силу приведенных операций сводится к классической задаче стабилизации с постоянными ограничениями на управление.

2) Второй интересный для приложений частный случай поставленной задачи осуществления движения получается, если - периодическое движение. В этом случае проблема состоит в синтезе динамических систем с заданными предельными циклами (синтез автоколебательных систем)

3) В [3] задача осуществления движения рассматривается в более общей постановке, когда в классе доступных управлений не существует управлений осуществляющих движение В этом случае ставится задача приближенного осуществления движения. Если - периодическое движение, то новую задачу можно свести к рассмотренной выше. Для этого сначала в классе доступных управлений находится такое управлениеt> 0, и начальное состояние , что соответствующая им Т - периодическ...