Нахождение аппроксимирующих формул

В настоящее время большое значение придается умению использовать компьютерные технологии для выполнения расчетов различной сложности, для организации безошибочного документооборота как внутри одной фирмы, так и между различными юридическими лицами. Серийный выпуск персональных компьютеров привел к качественному изменению в области обработки информации. Сегодня важно свободно владеть ПК при работе с текстовыми и графическими редакторами и табличными процессорами, внедрять работу на ПК в повседневную практику.

При решении подобных задач широко применяются офисные приложения Microsoft Word и Microsoft Excel, входящие в состав пакета Microsoft Office Enterprise, а так же приложение математического пакета Parametric Technology Corporation MathCad.

В данной курсовой работе на примере задачи нахождения аппроксимирующих формул рассматриваются выполнения расчетов с помощью Microsoft Excel и PTC MathCad.

Примером функции в данной работе будет дана зависимость скорости расхода воздуха Q в косозубом шестеренном пневмодвигателе К3М от числа оборотов вала n в безразмерных величинах.

Пневмодвигатель (от греческого Pnйuma - дуновение, воздух), пневматический двигатель, пневмомотор - энергосиловая машина, преобразующая энергию сжатого воздуха в механическую работу. Наибольшее распространение получили объёмные пневмодвигатели (поршневые и ротационные). Пневмодвигатель применяются для привода различных инструментов (дрелей, гайковёртов, отбойных молотков, шлифовальных головок), обеспечивая безопасность работы во взрывоопасных местах (со скоплением газа, угольной пыли), в среде с повышенным содержанием влаги.

Пневмодвигатель шестеренный косозубый модернизированный К3М (рис. 1) предназначен для привода различного горного и горношахтного оборудования. Пневмодвигатель изготавливается во фланцевом исполнении (К3МФ-Г) и на лапах (К3МЛ-Г). Поставляется в любом из указанных исполнений, по требованию заказчика.

Таблица 1

Рис. 1. Пневмодвигатель шестеренный косозубый К3М

На основании проведенных испытаний пневмодвигателя, получили следующие значения таких параметров, как скорость расхода воздуха и число оборотов вала. Результаты измерений занесли в таблицу.

Таблица 2. Зависимость скорости расхода воздуха Q в косозубом шестеренном пневмодвигателе К3М от числа оборотов вала n в безразмерных величинах

В данной курсовой работе необходимо найти аппроксимирующую зависимость скорости расхода воздуха M в косозубом шестеренном пневмодвигателе К3М от числа оборотов вала n в безразмерных величинах.

Для того чтобы выбрать аналитическую зависимость, нужно построить график эмпирических данных по таблице 2 (рис. 2).

Рис. 2. График зависимости таблично заданных значений M_i и n_i.

По положению точек можно выбрать вид аналитической зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Проанализировав полученный график, можно сделать вывод, что подходящим видом зависимости будет являться: линейная и полиноминальная второй степени, так как графики этой функции похожи на кривую зависимости экспериментальных данных.

1. Расчетные формулы

1.1 Метод наименьших квадратов

В любую аналитическую формулу входят постоянные коэффициенты, величина которых существенно влияет на вид функции и на её значение. Следовательно, в нашем случае коэффициенты, будут переменными параметрами, и функция запишется в общем виде:

(1.1)

где - подбираемые коэффициенты, M_i - i-ые значения расхода воздуха, n - число оборотов вала.

Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной теоретической функции от заданных эмпирических значений будет минимальной. Следовательно, задача состоит в определении коэффициентов таким образом (т.е. в выборе одной кривой из множества), чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.

(1.2)

где - коэффициенты аппроксимации,

Для того чтобы найти набор коэффициентов , при которых достигается минимум функции S, определяемой формулой (1.1), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных равенство нулю частных производных.

Таким образом, нахождение коэффициентов , сводится к решению системы:

(1.3)

Если коэффициенты входят линейно, то система дифференциальных уравнений в частных производных преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений. Эта система может быть решена любым методом: методом Гаусса, матричным методом, по формулам Крамера и т.д.

Конкретный вид системы (1.3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1.1).

В случае линейной аппроксимации формула (1.2) примет вид:

Возьмем две частные производные первого порядка и приравняем их к нулю. Система уравнений (1.3) примет вид:

Разделим уравнения на 2 и раскроем скобки:

Вынесем неизвестные и за знак суммы, так как они не зависят от индекса «i», и перенесем слагаемые, не содержащие неизвестных, в правую часть. Окончательно получим систему линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и :

(1.4)

В случае квадратичной аппроксимирующей зависимости, вида (1.1.1), выполнив аналогичные преобразования, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными и :

(1.5)

1.2 Оценка статистических параметров системы

Напомним некоторые статистические оценки. Наблюдаемые значения величин n_i, M_i можно рассматривать как выборочные значения двух случайных величин n и M. По выборочным данным можно найти выборочные средние и выборочные квадратичные отклонения n и M, а также выборочный коэффициент корреляции, а именно:

(1.6)

 (1.7)

Для вычисления можно применить и более простые формулы, которые выводятся в курсе теории вероятностей с помощью простых алгебраических преобразований:

(1.8)

(1.9)

Здесь - выборочные средние величин n, M; - выборочные квадратичные отклонения величин n, M; r - выборочный коэффициент корреляции.

Известно, что...