Моделирование агрегатов

Теория агрегативных моделей. Очередь как основной элемент моделей обслуживания; параметры приходящих заявок. Элементы обслуживающего узла, совокупность приборов обслуживания. Разработка библиотеки элементов, моделирующей работу Агрегата в среде MatLab.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

1

Размещено на

Теория агрегативных моделей

Агрегаты относятся к классу объектов, которые принято изображать в виде преобразователя (рис.1.), функционирующего во времени tT=[0,] и способного воспринимать входные сигналы x со значениями из некоторого множества X, выдавать выходные сигналы y со значениями из множества Y и находиться в каждый момент времени в некотором состоянии z из множества Z. Класс агрегатов отличает специфика множеств X,Y,Z, допустимые формы входных и выходных сообщений (т.е. функций x(t),y(t),tT), траекторий z(t), tT, а также способ преобразования входного сообщения в выходное.

Приступим к указанной конкретизации.

Прежде всего, отметим, что динамика агрегата носит “событийный “ характер (в случае, когда динамика модели фактически повторяет динамику системы, т.е. переход от одного события к другому, говорят, что соответствующая алгоритмическая модель носит событийный характер). В агрегатах могут происходить события двух видов: внешние и внутренние.

Внутренние заключаются в достижении траекторией некоторого подмножества Z*Z состояний; внешние - в поступлении входного сигнала.

Предполагается, что в момент поступления входных сигналов в КЛА образуют неубывающую последовательность, т.е. по определению, исключается случай поступления непрерывных сигналов, характерных, скажем, для систем, описываемых дифференциальными уравнениями.

Точно также предполагается, что последовательные моменты достижения траекторий z(t) подмножества Z* изолированы друг от друга. Траектории {z(t)} считаются непрерывными справа и имеющими пределы слева в каждый момент времени.

Между событиями состояние агрегата изменяется детерминированным образом. Если в некоторый момент t состояние z(t)=z, то в момент времени t`=t+, >0 (если на промежутке (t,t`) не наступает никакого события) , где - полугрупповой оператор: . Для агрегатов оператор имеет очень простой вид.

Размещено на

1

Размещено на

X Z Y

Рис. 1. Общий вид преобразователя

Каждому состоянию z ставится в соответствие величина =(z), трактуемая как потенциальное время до наступления очередного внутреннего события:

. (1.)

На основании определения (1.) и с учетом полугруппового свойства оператора Tq для любого q и z таких, что <(z), можно записать (=(z)-.

Если t* - момент наступления внутреннего события и, то состояние агрегата в момент t* является случайным, зависящим лишь от z* и не принадлежащим Z*. Последнее условие гарантирует изолированность моментов наступления внутренних событий. В момент t* выдается выходной сигнал y*, содержание которого зависит лишь от z*. В частности, выходной сигнал может быть и пустым, т.е. не выдаваться. После случайного скачка вновь определяется время до наступления внутреннего события.

Рассмотрим теперь момент t** поступления входного сигнала x. Пусть. Тогда состояние агрегата в момент t** является случайным, зависящим лишь от x и z** и не принадлежащим Z*. В момент t**, вообще говоря, выдается выходной сигнал y**, содержание которого определяется x и z**.

Условимся считать, что если моменты наступления внешнего и внутреннего событий совпадают, то изменение состояния осуществляется в соответствии с правилом наступления внешнего события, т.е. входные сигналы имеют приоритет над внутренними событиями.

Таким образом, процесс функционирования агрегата полностью определяется изменениями, происходящими в особые моменты времени - моменты наступления событий (внешних или внутренних). Между особыми моментами состояние агрегата меняется детерминировано в соответствии с оператором .

Динамику состояний агрегата можно представить в следующем виде. Пусть в некоторый момент времени t его состояние равно z. Тогда определяется время (z) достижения траекторией z() особого подмножества Z*. Если в течение времени (z) на агрегат не поступает входных сигналов, то , если t+<t+(z), а в момент времени t*=t+(z) совершается случайный скачок и состояние становиться равным . Если в момент t** <t*+(z) поступает входной сигнал x, то в любой момент t+<t** состояние равно , а в момент t** совершается случайный скачок и состояние становиться равным и поступившего входного сигнала x.

Начиная с момента наступления события (внешнего или внутреннего), ситуация повторяется, и динамика КЛА определяется точно так же, как и ранее.

Если 1,2,... - моменты наступления событий в агрегате справедливо в промежутке времени [0,), где . Если не существует конечной точки накопления событий, т.е. =, то траектория агрегата определена на [0,). В противном случае (назовем его нерегулярным) траектория определена лишь до конечного (хотя и случайного) момента .

Опишем теперь агрегат более подробно. Будем считать, что множество входных сигналов X представляется в виде произведения X=X1*X2*...*Xm,а множество выходных сигналов Y - в виде n-кратного произведения Y=Y1*Y2*...*Yn. Содержательно это означает, что агрегат внешне имеет вид многополюсника с m входными клеммами и n выходными клеммами (рис. 2.). Отметим, что в общем случае mn.

Предположим, что в состав множеств Xi и Yj включены и фиктивные элементы , наличие которых на входе или выходе агрегата означает отсутствие сигнала на соответствующей входной или(соответственно) выходной клемме.

Следовательно, входной сигнал на имеет вид

x=(x1,x2,...,xm),

а выходной

y = (y1,y2,...,yn).

X1 1 1 Y1

Размещено на

1

Размещено на

... Z...

Xm m n Yn

Рис. 2. Кусочно-линейный агрегат (КЛА)

Не фиктивными входными xi или выходными yj сигналами, а также состояниями z КЛА являются данные.

Понятие данного определим рекуррентно.

Элементарными данными считаются: целые числа; действительные числа; символьные переменные (литералы).

Данными считаются: элементарные данные; списки данных; массивы данных; структуры данных.

Здесь термины “список”, “массив” употребляются в их обычном смысле. Понятие структуры данных соответствует дереву, на корнях которого размещены данные.Каждое данное имеет свое имя.

Рассматриваемые данные хорошо отображают содержательные представления, существующие у исследователя относительно реальных объектов, и существенно облегчают процесс построения модели. Эти данные удобны как с математической, так и с программной точек зрения.

Итак, пусть состояние z КЛА определено как некоторая структура. Тем самым фиксирован вид дерева, представляющего эту структуру.

Дерево базируется, в конечном счете, на элементарных данных. Обозначим через элементарные данные, входящие в состояние z и имеющие тип целых чисел и символов, а через -элементарные данные, имеющие действительный тип. При изменении состояния может меняться и количество элементарных данных, составляющих состояние, так как, например, при этом могут изменяться длины некоторых списков.

Предположим, что значения и состав элементарных данных могут меняться лишь в особые моменты времени, а между ними остаются постоянными. Разобьем множество на два подмножества,гдесостоит из положительных величин, а- -из неположительных. Будем считать, что данные из подмножества - остаются неизменными между особыми моментами времени и что моменты наступления внутренних событий определяются лишь данными из . Это отвечает обычно используемой “энергетической интерпретации” причин наступления внутренних событий в моменты, когда исчерпывается некоторый ресурс, оканчивается операция и т.д. Обозначим через i-й элемент множества и положим - множество, участвующее в определении внутренних событий. Таким образом, внутреннее событие происходит, когда хотя бы один из положительных элементов множества обращается в нуль.

Предположим, что каждое элементарное данное из множества изменяется с постоянной скоростью. Обозначим через набор этих скоростей (число элементов множества равно числу элементов множества ). В частности, указанные скорости могут равняться нулю, что соответствует постоянству соответствующих данных. Обозначим через i-й элемент множества . Тогда, если >0, то соответствующая координата будет возрастать (например, увеличиваться ресурс) и, следовательно, она не может обратиться в нуль. Такая же ситуация справедлива и для =0. Если <0, то координата обратится в нуль через время . Поэтому время наступления внутреннего события (равное времени достижения траекторией КЛА подмножества Z*)

.

Следовательно, оператор имеет вид

; ; .



Если , то это означает, что в момент t* по меньшей мере один из элементов обращается в нуль. При таком условии состояние zt* зависит вероятностным образом только от z*. Состояние zt* описывается той же структурой, что...