Множительное устройство

Синтез множительного устройства для умножения чисел с плавающей запятой, представленных в двоично-четверичной системе счисления. Перевод сомножителей из десятичной системы счисления в четверичную. Затраты на умножение шестиразрядных сомножителей.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Введение

Курсовой проект предполагает синтез множительного устройства для умножения чисел с плавающей запятой, представленных в двоично-четверичной системе счисления. Процесс умножения фактически является повтором некоторых циклических действий, число повторений которых зависит только от разрядности сомножителей. Для получения действительного произведения необходима аппаратура для хранения и сдвига модуля множимого удвоенной разрядности, для хранения модуля множителя, сумматор удвоенной разрядности и устройство для хранения суммы накопившихся частичных произведений. Умножение выполняется только сдвигами и сложением. Целью данного проекта является разработка процессов умножения и суммирования и реализация их в заданном функционально полном логическом базисе. Все действия производимые в ходе проекта выполняются исключительно по законам и следствиям булевой алгебры. Также одной из целей является практическое определение действительных временных затрат на выполнение умножения и суммирования в зависимости от заданного логического базиса.

1. Разработка алгоритма умножения

В разработке алгоритма умножения можно выделить следующие составные элементы:

1) Перевод сомножителей из десятичной системы счисления в четверичную, а затем в двоично-четверичную:

Мн10 Мн4 Мн2\4

45,3010 231,1034 11 00 01, 01 10 00 2/4

Мт10 Мт4 Мт2\4

55,1410 313,0204 00 10 01 , 01 01 00 2/4

2) Запишем сомножители в форме с плавающей запятой:

Мн = 1 , 11 00 01 01 10 00 0 , 10 00

Мт = 0 , 00 01 00 10 11 10 0 , 10 00 .

3) Перемножение двух чисел с плавающей запятой сводится к сложению порядков, формированию знака произведения и перемножению мантисс сомножителей.

Порядок произведения будет равен:

ПМн = 0, 10 00

+ПМт = 0, 10 00

ППр = 0, 01 11

Знак произведения определяется суммой по модулю двух знаков сомножителей, т.е.

ЗнМн ЗнМт = 1 0 = 1

Перемножение мантисс приведено в Таблице 1.1:

Таблица 1.1

Умножение в четверичной с/с	Умножение в 2/4 с/с
		1 такт
	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	10 10 10 10 10 10	10 10 10 10 10 10
Mн	0 0 0 0 0 0	2 3 1 1 0 3	10 10 10 10 10 10	11 00 01 01 10 00
		3 1 3 0 2 0		00 01 00 10 11 10
	0 0 0 0 0 2	0 1 3 3 2 1	10 10 10 10 10 11	10 01 00 00 11 01

Таблица 1.1(окончание)

		2 такт
	0 0 0 0 2 0	1 3 3 2 1 0	10 10 10 10 11 10	01 00 00 11 01 10
Мн	0 0 0 0 0 0	2 3 1 1 0 3	10 10 10 10 10 10	11 00 01 01 10 00
		1 3 0 2 0 0		01 00 10 11 10 10
	0 0 0 0 2 1	0 3 0 3 1 3	10 10 10 10 11 01	10 00 10 00 01 00
		3 такт
	0 0 0 2 1 0	3 0 3 1 3 0	10 10 10 11 01 10	00 10 00 01 00 10
Мн	0 0 0 0 0 0	2 3 1 1 0 3	10 10 10 10 10 10	11 00 01 01 10 00
		3 0 2 0 0 0		00 10 11 10 10 10
	0 0 0 2 1 2	3 2 3 1 1 1	10 10 10 11 01 11	00 11 00 01 01 01
		4 такт
	0 0 2 1 2 3	2 3 1 1 1 0	10 10 11 01 11 00	11 00 01 01 01 10
Мн	0 0 0 0 0 0	2 3 1 1 0 3	10 10 10 10 10 10	11 00 01 01 10 00
		0 2 0 0 0 0		10 11 10 10 10 10
	0 0 2 1 2 3	2 3 1 1 1 0	10 10 11 01 11 00	11 00 01 01 01 10
		5 такт
	0 2 1 2 3 2	3 1 1 1 0 0	10 11 01 11 00 11	00 01 01 01 10 10
Мн	0 0 0 0 0 0	2 3 1 1 0 3	10 10 10 10 10 10	11 00 01 01 10 00
		2 0 0 0 0 0		11 10 10 10 10 10
	0 2 1 3 0 0	0 3 3 3 1 2	10 11 01 00 10 10	10 00 00 00 01 11
		6 такт
	2 1 3 0 0 0	3 3 3 1 2 0	11 01 00 10 10 10	00 00 00 01 11 10
Мн	0 0 0 0 0 0	2 3 1 1 0 3	10 10 10 10 10 10	11 00 01 01 10 00
		0 0 0 0 0 0		10 10 10 10 10 10
	2 1 3 0 0 0	3 3 3 1 2 0	11 01 00 10 10 10	00 00 00 01 11 10

Произведение до округления Mн*Mт = 1,11 01 00 10 10 10 00

Для округления добавим к седьмому разряду 11.

Произведение после округления: Мн*Мт = 1,11 01 00 10 10 01 01

4) Полученный результат можно перевести в десятичную систему и оценить погрешность вычислений. Для этого полученное ранее произведение приводится к нулевому порядку, а затем переводится в десятичную систему счисления:

(Mн Mт)10 = - ( 2 45 + 1 44 + 3 43 + 1 40 + 1 40 ) = - 2497,25 10

Результат прямого перемножения операндов дает следующее значение:

Mн10 Mт10 = 55,14 (-45,30)= - 2497,84210

Абсолютная погрешность:

= - 2497,842 - (- 2497,25) = - 0,592

Относительная погрешность:

= / (Мн Мт) =0,592 / 2497,842 = 0,00024 ( = 0,024 %)

Эта погрешность является суммарной, накопленной за счет приближённого перевода из 10 с/с в четверичную обоих сомножителей, а также за счет округления полученного результата произведения.

2. Разработка структурной схемы

При разработке устройства умножения использование непосредственно четверичной системы затруднительно. Поэтому четверичные цифры кодируються двоичными эквивалентами (диадами) так, что перемножение одной четверичной...