Точность вычислений, классификация погрешностей. Оценка апостериорной погрешности, численное дифференцирование. Численное решение систем линейных уравнений. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Решение нелинейных уравнений с неизвестным.
Краткое сожержание материала:

В. Пикулев

Методы компьютерных вычислений и их приложение к физическим задачам

Методическое пособие

Петрозаводск, 2004

1. Всякий специалист стремится достичь

своего уровня некомпетентности.

2. Компьютер - средство многократного

увеличения некомпетентности человека.

3. Если две ошибки не принесли результата

- испробуй третью.

Лоуренс Питер, «Иерархиология».

Введение в предмет

Численные методы - раздел математики, который со времен Ньютона и Эйлера до настоящего времени находит очень широкое применение в прикладной науке. Традиционно физика является основным источником задач построения математических моделей, описывающих явления окружающего мира, она же является основным потребителем алгоритмов и программ, позволяющих эти задачи с определенным успехом решать.

При этом задачей физика является не только правильный выбор программы, которая призвана решать физическую проблему, но и подробный анализ и корректировка используемых алгоритмов, в соответствии с реалиями поставленной задачи и теми математическими правилами, которые либо допускают существование решения с заданной точностью, либо говорят о невозможности такого решения.

Примеры современных физических задач, для решения которых используются численные методы - моделирование астрономических событий (рождение и развитие Вселенной), моделирование процессов в микромире (распад и синтез частиц), моделирование установок и процессов термоядерного синтеза. Более «прикладные» задачи - моделирование физических процессов в твердотельных структурах (широко используется в проектировании и изготовлении интегральных схем), моделирование процессов в газах и плазме. Учитывая большую сложность и дороговизну современных экспериментальных методик, и, с другой стороны, постоянный рост производительности вычислительных систем, нетрудно определить тенденцию к увеличению в настоящее время доли модельных (вычислительных) экспериментов. Большое количество численных методов разработано для решения задач математической физики, к которым, например, относятся задачи тепло- и массопереноса, исследования турбулентного движения.

К инженерным приложениям численных методов можно отнести расчеты магнитных и электростатических линз для заряженных частиц, различного рода радиотехнические расчеты, включая, например, проектирование СВЧ-волноводов. Любопытно, что как в теоретической физике, так и в инженерной практике решаются численными методами различные задачи теоретической механики, например, задачи столкновения (в том числе динамический хаос). Естественно, такое приложение вычислительной техники к физике, как управление экспериментом и сбор данных, в данном курсе не рассматривается.

План построения вычислительного эксперимента:

1) Создание модели, фиксирующей главные исследуемые факторы. Одновременно формулируются рамки применимости модели.

2) Предварительное исследование математической модели: поверка корректности постановки задачи, существования и единственности решения.

3) Разработка метода расчета сформулированной задачи, построение эффективных вычислительных алгоритмов.

4) Создание программы, осуществляющей моделирование физического объекта, включающей в себя реализации используемых численных методов, проверки корректности ввода исходных и вывода результирующих данных

5) Сравнение полученных результатов моделирования с тестовыми примерами и экспериментальными данными; решение вопроса о правильности практического моделирования (иначе повторяются пункты 3 и 4).

6) Решение вопроса о достоверности предложенной математической модели. Если модель не описывает экспериментальные данные, возврат на пункт 1.

Таким образом, численный эксперимент - это не однократное вычисление по некоторому набору формул, а многостадийный процесс программирования, анализа результатов и их погрешностей.

Задача называется корректно поставленной, если для любых входных данных х из некоторого класса решение y существует, единственно и устойчиво по входным данным.

(Класс может представлять собой координатное бесконечномерное пространство, множество непрерывных функций и др.)

Численный алгоритм -- однозначная последовательность действий, которые могут привести к одному решению.

Отсутствие устойчивости обычно означает, что сравнительно небольшой погрешности дx соответствует весьма большое дy, а значит получаемое решение будет далеко от истинного. К такой задаче численные методы применять бессмысленно, ибо погрешности численного расчета будут катастрофически нарастать. Устойчивость задачи определяется (1) математической формулировкой, (2) используемым алгоритмом расчета. Пример неустойчивой задачи в первом случае:

Система имеет решение , однако

Система имеет решение , то есть разница в коэффициенте менее 1% приводит к изменению решения в 300%.

Пример алгоритмической неустойчивости - вычисление производных численными методами: какой бы метод мы не использовали, приходится вычитать весьма мало различающиеся числа.

В настоящее время развиты методы решения многих некорректных задач, которые основаны на решении вспомогательной корректной задачи, близкой к исходной.

Если выполняется условие для норм (модулей), то задача устойчива. Однако если константа С очень велика, то фактически наблюдается слабая устойчивость. Такую задачу называют плохо обусловленной. Пример - дифференциальное уравнение с начальными условиями . Общее решение дифференциального уравнения есть . Начальные условия приводят к обнулению первого слагаемого, но если из-за погрешности начальных данных это будет не так, то при возрастании x влияние первого слагаемого будет катастрофически нарастать.

1 Точность вычислений, классификация погрешностей

Во всех случаях математическая точность решения должна быть в 2-4 раза выше, чем ожидаемая физическая точность модели. Более высокая математическая точность, как и более низкая, будут неадекватны данной модели.

Существуют четыре источника погрешности результата:

1) погрешность математической модели - связана с ее несоответствием физической реальности, так как абсолютная истина недостижима. Если математическая модель выбрана недостаточно тщательно, то, какие бы методы мы не применяли для расчета, все результаты будут недостаточно надежны, а в некоторых случаях и совершенно неправильны.

2) погрешность исходных данных, принятых для расчета. Это неустранимая погрешность, но это погрешность возможно и необходимо оценить для выбора алгоритма расчета и точности вычислений. Как известно, ошибки эксперимента условно делят на систематические, случайные и грубые, а идентификация таких ошибок возможно при статистическом анализа результатов эксперимента.

3) погрешность метода - основана на дискретном характере любого численного алгоритма. Это значит, что вместо точного решения исходной задачи метод находит решение другой задачи, близкого в каком-то смысле (например по норме банахова пространства) к искомому. Погрешность метода - основная характеристика любого численного алгоритма. Погрешность метода должна быть в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.

4) погрешность округления -- связана с использованием в вычислительных машинах чисел с конечной точностью представления.

Вот иллюстрация этих определений. Пусть имеется реальный маятник, совершающий затухающие колебания, начинающий движение в момент t = t₀. Требуется найти угол отклонения ц от вертикали в момент t₁. Движение маятника мы можем описать следующим дифференциальным уравнением:

,

где l - длина маятника, g - ускорение силы тяжести, м - коэффициент трения.

Как только принимается такое описание задачи, решение уже приобретает неустранимую погрешность, в частности потому, что реальное трение зависит от скорости не совсем линейно (погрешность модели). Кроме того, воспроизведя реальный эксперимент, мы зададим l, g (в известной точке планеты), м с некоторой точностью, и получим набор значений с погрешностью, которую можем оценить из анализа статистики некоторого числа однотипных опытов (погрешность исходных данных). Взятое в модели дифференциальное уравнение нельзя решить в явном виде, для его решения требуется применить какой-либо численный метод, имеющий заранее известную погрешность, которая должна быть меньше неустранимой погрешности. После совершения вычислений мы получим значения с погрешностью большей, нежели погрешность метода, так как к ней прибавится погрешность округления.

Рассмотрим правила расчета погрешности округления:

1) Сложение и вычитание приближенных чисел

Введем в рассмотрение два числа a и b, называемых приближенными, то есть это есть оценка точных значений A и B, известных с абсолютными погрешностями ±е_a и ±е_b. Знаки эти...