Математическое моделирование технического объекта

Решение однородных дифференциальных уравнений в MathCad. Расчет значений функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи второго порядка в свободном режиме при отсутствии гармонического воздействия с использованием системы MathCAD. Графики этих функций.
Краткое сожержание материала:

Введение

В современном мире человек уже не представляет себя без компьютерных технологий, которые заполнили почти все сферы человеческой деятельности. Компьютеры помогают нам в работе: от решения простейших задач (создания баз данных и работы с ними, выполнение простейших расчетов и др.), до выполнения трудоемких научных расчетов, которые ранее выполнялись годами, с многочисленными проверками и поправками.

Благодаря компьютерным технологиям разнообразился и наш досуг: огромное количество развивающих игр для детей, прослушивание музыки, просмотр видео и многое другое.

Современные компьютеры позволяют хранить и обрабатывать огромное количество информации, и каждому человеку необходимо знать и уметь, как использовать данную информацию по назначению из ПК, поэтому элементарная компьютерная грамотность является неотъемлемой частью образования.

MathCad - мощный пакет программ, предназначенный для решения различных математических задач с возможностью программирования. Система MathCad занимает лидирующее положение среди всех остальных математических систем. Помимо выполнения своих математических функций система MathCad является очень неплохим текстовым и графическим редактором, по многим параметрам не уступающим специализированным программам.

Система MathCad является на данный момент единственной математической системой, в которой описание решения задач задаётся с помощью привычных математических формул и знаков. Применение системы MathCad при решении прикладных задач технического характера позволило резко повысить скорость расчётов и уровень сложности задач.

В данном курсовом проекте в среде MathCad была составлена математическая модель. Результаты моделирования представлены в виде чисел и графиков.

1 Математическое моделирование технического объекта

1.1 Обзор методов компьютерного моделирования

Моделирование - это процесс замещения объекта исследований некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель - это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

Различают моделирование предметное и абстрактное. При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта.

Физическое моделирование широко применялось до недавнего времени при создании сложных технических объектов.

Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т. п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта.

Одним из основных компонентов системы проектирования становится математическая модель. Математическая модель - совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т. д.) и связей между ними, отражающих важнейшие для проектировщика свойства объекта.

Процесс формирования математической модели и использования её для анализа и синтеза называется математическим моделированием.

Компьютерное моделирование -- это математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники. Соответственно, технология компьютерного моделирования предполагает выполнение следующих действий.

1. Определение цели моделирования.

2. Разработка концептуальной модели.

3. Формализация модели.

4. Программная реализация модели.

5. Планирование модельных экспериментов.

6. Реализация плана эксперимента.

7. Анализ и интерпретация результатов моделирования.

Содержание первых двух этапов практически не зависит от математического метода, положенного в основу моделирования, а реализация остальных пяти существенно различается для каждого из двух основных подходов к построению модели.

Существуют два основных подхода к построению модели это аналитический и имитационный.

Аналитическое моделирование предполагает использование математической модели реального объекта в форме алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений, связывающих выходные переменные с входными, дополненных системой ограничений. При этом предполагается наличие однозначной вычислительной процедуры получения точного решения уравнений.

При имитационном моделировании используемая математическая модель воспроизводит алгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды. Примером простейшей аналитической модели может служить уравнение прямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процесса с помощью имитационной модели должно быть реализовало наблюдение за изменением пройденного пути с течением времени.

Концептуальная (содержательная) модель -- это абстрактная модель, определяющая структуру моделируемой системы, свойства ее элементов и причинно-следственные связи, присущие системе и существенные для достижения цели моделирования. Построение концептуальной модели включает следующие этапы.

1. Определение типа системы.

2. Описание рабочей нагрузки.

3. Декомпозиция системы.

На первом этапе осуществляется сбор фактических данных, а также выдвижение гипотез относительно значений параметров и переменных, для которых отсутствует возможность получения фактических данных.

На этапе описания рабочей нагрузки описывается влияние внешних воздействий на эффективность применения данной системы в рамках производимой операции.

На этапе декомпозиции систему доводят до состояния когда для каждого элемента были известны или могли быть получены зависимости его входных характеристик от входных воздействий, существенные с точки зрения выбранного показателя эффективности.

1.2 Основные концепции компьютерного моделирования

Само по себе понятие компьютерное моделирование весьма широкое и каждый автор трактует его по-своему. Встречаются, например, такие выражения: «компьютерное моделирование верхней одежды», «компьютерное моделирование причесок» и т. п. В связи с этим есть необходимость уточнить, что же мы будем понимать под этим термином. Так вот, в данном случае компьютерное моделирование -- это математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники. Соответственно, технология компьютерного моделирования предполагает выполнение следующих действий.

1. Определение цели моделирования.

2. Разработка концептуальной модели.

3. Формализация модели.

4. Программная реализация модели.

5. Планирование модельных экспериментов.

6. Реализация плана эксперимента.

7. Анализ и интерпретация результатов моделирования.

Содержание первых двух этапов практически не зависит от математического метода, положенного в основу моделирования (и даже наоборот -- их результат определяет выбор метода). А вот реализация остальных пяти этапов существенно различается для каждого из двух основных подходов к построению модели. Именуются эти подходы в разных книгах по-разному, мы используем для их обозначения термины «аналитическое» и «имитационное» моделирование.

Аналитическое моделирование предполагает использование математической модели реального объекта в форме алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений, связывающих выходные переменные с входными, дополненных системой ограничений. При этом предполагается наличие однозначной вычислительной процедуры получения точного решения уравнений.

При имитационном моделировании используемая математическая модель воспроизводит алгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды. Примером простейшей аналитической модели может служить уравнение прямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процесса с помощью имитационной модели должно быть реализовало наблюдение за изменением пройденного пути с течением времени.

Очевидно, в одних случаях более предпочтительным является аналитическое моделирование, в других -- имитационное (или сочетание того и другого). Чтобы выбор был удачным, необходимо ответить на два вопроса. О С какой целью проводится моделирование? О К какому классу может быть отнесено моделируемое явление?

Ответы на оба эти вопроса могут быть получены в ходе выполнения двух первых этапов моделирования.

Общая цель моделирования в процессе принятия решения была сформулирована в разделе «Общая схема процесса принятия решений» -- это определение (расчет) значений выбранного показателя эффективности для различных стратегий проведения операции (или вариантов реализации проектируемой системы). При разработке конкретной модели цель моделирования должн...