Интегральные многообразия сингулярно возмущенных систем. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Модель воспламенения в дизельном двигателе. Редукция системы, процесс испарения. Теплопроводность моноатомного и полиатомного газа.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)»

Факультет информатики

Кафедра технической кибернетики

Выпускная квалификационная работа специалиста

на тему

Исследование динамической модели сгорания топлива в дизельном двигателе

Выпускник Калимуллов А.А.

Руководитель работы Соболев В.А.

Нормоконтролёр Суханов С.В.

САМАРА 2013

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)»

Факультет информатики

Кафедра технической кибернетики

«УТВЕРЖДАЮ»

Заведующий кафедрой

____________________________

«___»_______________ 20____ г.

ЗАДАНИЕ НА ВЫПУСКНУЮ КВАЛИФИКАЦИОННУЮ РАБОТУ СПЕЦИАЛИСТА

студенту 6507 группы Калимуллову Асхату Анвяровичу

1. Тема работы Исследование динамической модели сгорания топлива в дизельном двигателе утверждена приказом по университету от 19 марта 2013г. № 113-ст.

2. Исходные данные к работе:

Динамическая модель процесса горения топлива в дизельном двигателе.

3. Перечень вопросов, подлежащих разработке:

3.1. Изучение материала о регулярных и сингулярных возмущениях;

3.2. Выбор корректного метода анализа исследуемой модели;

3.3. Исследование динамической модели процесса горения топлива в дизельном двигателе;

3.4. Численное решение задачи, построение фазовых портретов и графиков зависимостей, анализ получившихся результатов.

Срок представления законченной работы «___» __________ 20___ г.

Руководитель работы Соболев В.А.

(подпись)

Задание принял к исполнению «___» __________ 20___ г.

Калимуллов А.А.

(подпись)

РЕФЕРАТ

Выпускная квалификационная работа специалиста: 33 c., 2 рисунка, 5 источников, 1 приложение.

Презентация: 10 слайдов Microsoft PowerPoint.

НЕЛИПШИЦЕВЫ НЕЛИНЕЙНОСТИ, ТЕОРЕМА ТИХОНОВА, СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ, РЕДУКЦИЯ, ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ.

Объектом исследования является динамическая модель сгорания топлива в дизельном двигателе, основанная на законе Аррениуса.

Цель работы - изучение имеющихся публикаций, в которых исследуется модель горения топлива и проведение исследования модели на основе модификации метода интегральных многообразий.

Построена редукционная модель горения и проведен сравнительный анализ результатов аналитических и численных исследований.

Численное моделирование системы, а также построение фазовых портретов модели были произведены с использованием математического пакета Wolfram Mathematica.

СОДЕРЖАНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• 1. Сведения из теории сингулярно возмущенных систем
• 1.1 Интегральные многообразия сингулярно возмущенных систем
• 1.2 Теоремы существования и единственности рения задачи Коши
• 1.3 Теорема Тихонова
• 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
• 2.1 Модель воспламенения в дизельном двигателе
• 2.2 Редукция системы
• 2.4 Процесс испарения
• 2.5 Процесс горения
• 3 Интерпретация результатов
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
• ПРИЛОЖЕНИЕ А Текст программы

ВВЕДЕНИЕ

В дипломной работе проведен анализ динамической модели горения топлива в дизельном двигателе. Сама модель представляет собой сингулярно возмущенную систему дифференциальных уравнений, является стандартной и достаточно часто встречается в различных источниках. Главной особенностью рассматриваемой системы является наличие нелинейностей в правой части, которые не удовлетворяют условию Липшица.

В последние годы появились статьи, посвященные исследованию моделей химической кинетики с нелипшицевыми нелинейностями. В одной из статей [1] к модели дизельного двигателя применяется метод интегральных многообразий, который, к сожалению, не работает, т.к. не выполняются условия теоремы существования. Поэтому для исследования нашей задачи был найден другой, корректный метод.

В настоящей работе объясняется возможность редукции модели исследования. Для этого используется теорема Тихонова о предельном переходе в сингулярно возмущенных системах.

Работа состоит из двух глав, приложения и списка использованных источников. В первой главе приводятся необходимые сведения из теории сингулярных возмущений. Вводятся понятия интегрального многообразия, его устойчивости, приводятся необходимые теоремы. Во второй главе проводится численный анализ математической модели горения. Производится разбиение процесса на две взаимосвязанные фазы. Результаты, полученные аналитически, сравниваются с численным исследованием системы. Работа проиллюстрирована графиками, показывающими состояние модели при различных начальных условиях, свойственных моделируемому процессу. Для построения графиков и получения численных результатов использовался математический пакет Wolfram Mathematica.

1. Сведения из теории сингулярно возмущенных систем

1.1 Интегральные многообразия сингулярно возмущенных систем

В этой главе вводятся основные понятия и теоремы из теории сингулярно возмущенных систем.

Определение 1. Сингулярно возмущенными называются системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр при части производных, вида

, (1.1)

, (1.2)

где малый параметр , - медленная переменная, а - быстрая переменная, т.к. скорости их изменения пропорциональны O(1) и O(1/е) соответственно, и непрерывные функции, а точкой обозначается дифференцирование по независимой переменной . Систему уравнений (1.1) будем называть медленной подсистемой, систему уравнений (1.2) - быстрой подсистемой.

Сингулярно возмущенные системы широко используются для моделирования процессов различной природы, т.к. в любом реальном процессе есть разномасштабные переменные.

Определение 2. Гладкая поверхность в называется интегральным многообразием системы, если для любой точки траектория , такая что

,

целиком принадлежит для всех .

Если

только на конечном интервале , то поверхность называют локальным интегральным многообразием.

Для автономной системы

,

интегральное многообразие имеет вид , где - поверхность в фазовом пространстве . Поэтому естественно рассматривать для автономных систем интегральное многообразие как поверхность . В этом случае вместо термина интегральное многообразие часто используется термин "инвариантное многообразие".

Простейшим примером интегрального многообразия является фазовая траектория системы.

Определение 3. Интегральное многообразие системы (1.1)-(1.2) устойчиво, если существует :

и с начальными условиями

,

имеет представление

,

,

где ? решение уравнения

,

а функции , удовлетворяют условию:

.

Если же это соотношение имеет место при , то интегральное многообразие является неустойчивым.

Положив в (1.1), (1.2) , получим систему

, (1.3)

, (1.4)

которая называется вырожденной.

Поверхность , задаваемая уравнением (1.4), называется медленной поверхностью.

Если в некоторой точке медленной поверхности выполняется условие

,

то в окрестности этой точки существует вектор-функция

, ,

являющаяся решением уравнения (1.4).

Пересечение с поверхностью

является поверхностью (кривой, точкой) , размерность которой на единицу меньше размерности . При этом делит поверхность на так называемые листы медленной поверхности. На листе медленной поверхности выполняются все условия теоремы о неявной функции, следовательно, лист медленной поверхности может быть представлен графиком однозначно определенной вектор-функции

.

Границы листов - это либо части , либо пересечения медленной поверхности с границей области, в которой изучается система (1.1), (1.2). Медленная поверхность может иметь несколько лист...