Метод интегральных многообразий. Теория дифференциальных уравнений. Разбиение матрицы Якоби. Математическая модель процесса распада комплекса фермент-продукта. Построение интегрального многообразия. Составление матрицы Гурвица. Фазовые портреты системы.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Самарский государственный аэрокосмический университет

имени академика С.П. Королева

(национальный исследовательский университет)»

Факультет информатики

Кафедра технической кибернетики

Выпускная квалификационная работа специалиста

на тему

Исследование динамической модели двухкомплексного энзимного механизма

Выпускник Еремеева Е.Ю.

Руководитель работы Соболев В.А.

Нормоконтролёр Суханов С.В.

Рецензент Воропаева Н.В.

САМАРА 2013

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

(национальный исследовательский университет)»

Факультет информатики

Кафедра технической кибернетики

«УТВЕРЖДАЮ»

Заведующий кафедрой

____________________________

«___»_______________ 20____ г.

ЗАДАНИЕ НА ВЫПУСКНУЮ КВАЛИФИКАЦИОННУЮ РАБОТУ СПЕЦИАЛИСТА

студенту 6507 группы Еремеевой Елене Юрьевне

1. Тема работы Исследование динамической модели двухкомплексного энзимного механизма утверждена приказом по университету от 19 марта 2013г. № 113-ст.

2. Исходные данные к работе:

2.1. Модель двухкомплексного энзимного механизма.

2.2. Метод интегральных многообразий сингулярно возмущенных систем.

3. Перечень вопросов, подлежащих разработке:

3.1. Исследование динамической модели двухкомплексного энзимного механизма методом интегральных многообразий.

3.2. Сравнительный анализ метода интегральных многообразий с ILDM-методом.

3.3. Численное решение и анализ фазовых портретов системы.

3.4. Интерпретация полученных результатов.

Срок представления законченной работы «___» __________ 20___ г.

Руководитель работы Соболев В.А.

(подпись)

Задание принял к исполнению «___» __________ 20___ г.

Еремеева Е.Ю.

(подпись)

РЕФЕРАТ

Выпускная квалификационная работа специалиста: 56 c., 9 рисунков, 7 источников, одно приложение.

Презентация: 13 слайдов Microsoft PowerPoint.

ФЕРМЕНТ, КАТАЛИЗАТОР, СУБСТРАТ, ФЕРМЕНТАТИВНАЯ КИНЕТИКА, МОДЕЛЬ МИХАЭЛИСА-МЕНТЕН, ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, БЕЗРАЗМЕРНАЯ СИСТЕМА, ИНТЕГРАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ, ПРИНЦИП СВЕДЕНИЯ, ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ СИСТЕМЫ.

Объектом исследования является динамическая модель двухкомплексного энзимного механизма, основанная на теории Михаэлиса-Ментен.

Цель работы - провести исследование модели двухкомплексного энзимного механизма методом интегральных многообразий с целью понижения размерности исследуемой модели, сравнить данный метод исследования с ILDM-методом, а также численно решить исходную систему и построить её фазовые портреты.

Так как в настоящее время при моделировании многих биологических процессов часто необходимо предложить правдоподобные ферментативно-кинетические механизмы для той или иной части исследуемого процесса, математическая формулировка и понижение размерности исследуемой модели могут оказаться чрезвычайно полезными на практике при исследовании сложных систем. Поэтому в работе был использован метод интегральных многообразий, с помощью которого были построены нулевое, первое и второе приближения интегрального многообразия, а также с использованием математического пакета Mathematica 8.0 построены фазовые портреты исследуемой модели.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Методы редукции

1.1 Метод интегральных многообразий

1.2 ILDM-метод

2. Математическая модель

2.1 Основные понятия

2.2 Постановка задачи

2.3 Исследование модели

2.3.1 Представление модели в безразмерном виде

2.3.2 Построение интегрального многообразия

2.3.3 ILDM-метод

2.3.4 Нахождение и исследование особой точки

3. Численное моделирование

4. Интерпретация результатов

Заключение

Список использованных источников

Приложение А Текст программы

ВВЕДЕНИЕ

В течение всего времени существования человек пользовался ферментами, зачастую не подразумевая об этом. Но на сегодняшний день известно уже свыше 3000 ферментов. Термин фермент (от лат. fermentum - брожение, закваска) впервые был предложен в XVII веке химиком Ван Гельмонтом при обсуждении механизмов пищеварения. Ферменты являются биологическими катализаторами белковой природы, ускоряющими химические реакции как в живых организмах, так и вне их. А так как основу любого химического процесса, участвующего, как в жизнедеятельности организма, так и в ином процессе, составляют ферменты, то данная тема имеет очень важный биологический смысл.

В настоящее время ферменты применяются более чем в 25 отраслях промышленности: это и хлебопечение, и пивоварение, кожевенное и меховое производства, сыроварение, кулинария и т.д. Ферменты высокого качества позволяют улучшить технологию, сократить затраты и даже получить новые продукты.

В данной работе исследуется нелинейная математическая модель, описывающая одну из наиболее простых и в тоже время основных ферментативных реакций, широко встречающихся в промышленности, - это реакция, содержащая два фермент-субстратных комплекса, в которой субстрат необратимо превращается в продукт одним ферментом. Теория такой реакции известна как теория Михаэлиса-Ментен (Michaelis-Menten) [4].

Данная модель уже рассматривалась ранее [1], однако с увеличением порядка рассматриваемых систем уравнений, задачи качественного исследования значительно усложняются, поэтому более эффективное исследование системы можно получить, исследуя её методом интегральных многообразий, не применяемым ранее к рассматриваемой модели.

Работа состоит из четырех разделов, в первом из которых приводятся необходимые понятия из теории редукции динамических систем, а именно: метод интегральных многообразий и ILDM-метод. Во втором разделе исследуется исходная модель, а также проводится сравнительный анализ метода интегральных многообразий с ILDM-методом. Результаты аналитического исследования проверяются численным анализом системы в третьем разделе. В четвертом приводится интерпретация полученных результатов с точки зрения биологии.

1. МЕТОДЫ РЕДУКЦИИ

1.1 Метод интегральных многообразий

Метод интегральных многообразий представляет собой некоторый новый подход в качественной теории дифференциальных уравнений. Качественное исследование решений системы значительно упрощается, если они лежат на многообразии меньшего числа измерений, чем исходное фазовое пространство. Особенно это относится к случаю устойчивых интегральных многообразий. Метод интегральных многообразий позволяет свести задачу высокой размерности к задаче более низкой размерности. В этом заключается их основное значение при исследовании многомерных динамических систем.

Динамическая система - математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения эволюции систем во времени. Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления. Динамическая модель может быть представлена в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений

, .

Систему можно записать также в векторной форме

,

где использованы обозначения

, , [2].

Здесь - это переменные состояния, - время, а - вектор параметров системы.

Для исследования такой системы будем использовать метод интегрального многообразия.

Введем понятие интегрального многообразия. Интегральное многообразие - множество точек фазового пространства системы

,

заполненного интегральными кривыми этой системы, определенными для всех , и являющееся многообразием в - пространстве. Во многих задачах в правых частях присутствует время , такая система называется неавтономной.

Для описания самого метода рассмотрим неавтономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

, (1.1)

, (1.2)

где и - векторы из евклидовых пространств и , - переменная времени, - малый положительный параметр, и - вектор-функции, определенные, непрерывные по совокупности переменных и достаточно гладкие при всех , , . Предполагается, что значения функций и сравнимы с единицей при малых значениях параметра [3].