Алгебраические понятия в информатике
Краткое сожержание материала:
Размещено на
24
Размещено на
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине «Информатика»
Алгебраические понятия в информатике
Введение
алгебраический информатика логика булевский
Информатика - прикладная наука, находящаяся на стыке многих наук. Вместе с тем она опирается на спектр разделов такой фундаментальной науки, как математика. Наиболее важное прикладное значение для информатики имеет алгебра высказываний (булева алгебра), названная так по имени математика Джорджа Буля. Алгебра высказываний используется в разработке алгоритмов программ и в синтезе цифровых устройств, теория множеств и теория графов, используемые в описании различных структур.
Цель данной курсовой работы состоит в изучении применения основных высказываний алгебры в информатике.
Для достижения цели необходимо выполнить следующие задачи:
- дать основные понятия алгебры высказываний и рассмотреть логические операции;
- выявить порядок логических операций;
- рассмотреть основные законы алгебры логики;
- раскрыть табличное и алгебраическое задание булевских функций.
Для выполнения и оформления курсовой работы был использован компьютер IBM PC совместимый, ЦПУ Intel® Celeron® 2800 МГц, ОЗУ 1.0 Гб с программным обеспечением Microsoft® Windows® XP SP2.
Практическая часть выполнена с использование пакета MS Excel и MS Word.
1. Теоретическая часть
1.1 Основные понятия. Логические операции
Алгебра высказываний является составной частью одного из современных быстро развивающихся разделов математики - математической логики. Математическая логика применяется в информатике, позволяет моделировать простейшие мыслительные процессы. Одним из занимательных приложений алгебры высказываний - решение логических задач [6].
Алгебра - это наука, которая изучает множество некоторых элементов и действия (операции) над ними. Если элементы алгебры - натуральные числа, а операции - сложение и умножение, то это алгебра натуральных чисел.
Алгебра высказываний (булева алгебра) названа так по имени математика Джорджа Буля (1825-1864), внесшего значительный вклад в разработку алгебры логики [7, с 57].
Основное понятие булевой алгебры - высказывание. Под простым высказыванием понимается повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Восклицательное или вопросительное предложения не являются высказываниями [2, с 2]. Высказывания обозначаются латинскими буквами и могут принимать одно из двух значений: ЛОЖЬ (0) или ИСТИНА (1). Например, содержание высказывания А: «дважды два равно четырем» истинно А=1, а высказывание В: «три больше пяти» всегда есть ЛОЖЬ. Два высказывания А и В называются равносильными, если они имеют одинаковые значения истинности, записывается А=В [1, 48].
Логические операции
Сложное высказывание можно построить из простых с помощью логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и логических выражений, представляющих собой комбинации логических операций [4, с 50].
Для установления значений сложных высказываний используют таблицы истинности. Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию, и значениями функции [5, с 267].
С помощью логических операций можно вычислить истинность или ложность некоторого высказывания [3, с 54].
Операцией отрицания А называют высказывание В (или ¬А, говорят не А), которое истинно тогда, когда А ложно, и ложно тогда, когда А истинно. Например, если событие А состоит в том, что «завтра будет снег», то В «завтра НЕ будет снега», истинность одного утверждения автоматически означает ложность второго. Отрицание - унарная (т.е. для одного операнда) логическая операция. Ей соответствует языковая конструкция, использующая частицу НЕ.
Это правило можно записать в виде следующей таблицы:
|
А |
В |
|
|
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
Такая таблица называется таблицей истинности.
Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний А и В является новое высказывание С, которое истинно только тогда, когда истинны оба высказывания, записывается или (при этом говорят С равно А и В).
Примером такой операции может быть следующая: пусть высказывание А состоит в том, что «высота шкафа меньше высоты двери», событие В «ширина шкафа меньше ширины двери», событие С «шкаф можно внести в дверь, если ширина шкафа меньше ширины двери И высота шкафа меньше высоты двери», т.е. данная операция применяется, если два высказывания связываются союзом И.
Таблица истинности этой операции имеет вид:
|
А |
В |
А&B |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний А и В является новое высказывание С, которое истинно, если истинно хотя бы одно высказывание. Записывается (при этом говорят: С равно А ИЛИ В).
Пример: пусть высказывание А состоит в том, что «студент может добираться домой на автобусе», событие В «студент может добираться домой на троллейбусе», событие С «студент добрался домой на автобусе ИЛИ троллейбусе», т.е. данная операция применяется, если два высказывания связываются союзом ИЛИ.
Таблица истинности такой операции следующая:
|
А |
В |
||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
Импликацией двух высказываний А (А называется посылкой) и В (В называется заключением) является новое высказывание С, которое ложно только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно, записывается (при этом говорят : из А следует В).
Примером такой операции может быть любое рассуждение типа: если произошло событие А, то произойдет событие В, «если идет дождь, то на небе тучи». Очевидно, операция не симметрична, т.е. из не всегда истинно, в нашем примере «если на небе тучи, то идет дождь» не всегда истинно.
Таблица истинности импликации следующая:
|
А |
В |
А>В |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
Импликация имеет следующие свойства:
А>В?В>А
A>A=1
0>A=1
1>A=A
A>1=1
A>0= В
Эквиваленцией двух высказываний А и В является новое высказывание С, которое истинно только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковые значения истинности, записывается (). Примером такой операции может быть любое высказывание типа: событие А равносильно событию В.
Таблица истинности:
|
А |
В |
А-В |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
© 2006-2015 Студенческий сайт ТНУ им. В.И.Вернадского, TNU.in.UA