Методические указания к курсу «Элементы дискретной математики и биоинформатики»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГосударственное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Уральский государственный университет им. А. М. Горького»Математико-механический факультетКафедра алгебры и дискретной математикиМетодические указания к курсу«Элементы дискретной математики и биоинформатики»Автор-составительПрибавкина Е.В.Руководитель ИОНЦ «Физика в биологии и медицине»____________ Бабушкин А.Н. (подпись)__________ (дата)Екатеринбург2007Курс «Элементы дискретной математики и биоинформатки» читается на биологическом факультете в 3-м и 4-м семестрах и является факультативным курсом. Для восприятия излагаемого в нем материала требуется определенная математическая культура. В этом смысле курс опирается на читаемый в первых двух семестрах курс высшей математики, хотя напрямую материал этого курса используется незначительно. Первая часть курса (элементы дискретной математики) призвана повысить общематематическую культуру студентов и дает необходимую математическую основу для изучения второй части курса – основ биоинформатики. Первая часть включает в себя разделы, посвященные теории множеств, бинарным отношениям, математической логике, теории графов, основам теории алгоритмов, основным алгебраическим структурам, теории формальных языков и автоматов. Особое внимание уделяется примерам, иллюстрирующим биологические приложения изучаемых понятий.Вторая часть курса под общим названием «элементы биоинформатики» включает в себя обзор новейших достижений в области применения математических и компьютерных методов в биологии. Обсуждаются возможность создания биологического вычислительного устройства на основе ДНК и некоторые эксперименты в этом направлении, а также возможность создания лекарств на основе таких молекулярных компьютеров. Рассматривается вопрос о том, как в реальности происходит вычисление и расшифровка генетической информации в живой клетке – в этой связи изучаются математические модели сборки генов у ресничных. Последний раздел второй части посвящен применению теории формальных языков для описания процесса развития растений.В процессе изучения курса студент должен ознакомиться с понятиями теории множеств, бинарных отношений, логики высказываний, алгебраических систем. Требуется освоить ключевые понятия теории графов, алгоритмов, формальных языков и автоматов. Кроме того, студент должен составить представление об основных задачах, возникающих в современной биоинформатике, и о подходах к их решению, использующих методы дискретной математики.СОДЕРЖАНИЕ Элементы дискретной математики.1. Элементы теории множеств.Лекция 1.Понятие множества является одним из главных математических понятий, без которых невозможно изучение любого раздела математики. Такие понятия (множество, отношение, функция и др.) представляют собой основу математической культуры, которая является важной частью культуры общечеловеческой. Множество относится к математическим объектам, для которых нет строгого определения. Другим примером неопределяемого понятия служит точка в геометрии. Такие понятия вводятся на интуитивном уровне, но зато на их основе даются строгие определения других математических объектов. Можно сказать, что множество – это любая совокупность определенных и различимых между собой объектов, рассматриваемая как единое целое. Эти объекты называются элементами множества. При изучении данного раздела, предполагается наличие у студентов представлений о понятии множества и операций над ними из курса высшей математики, поэтому главная установка здесь состоит в систематизации этих сведений. Особое внимание уделяется способам формального задания множеств, а также формальным определениям операций над множествами и их свойствам.Краткое содержание раздела:Понятие множества. Способы задания множеств. Диаграммы Эйлера-Венна. Подмножества. Равенство множеств. Множество всех подмножеств конечного множества. Пустое и универсальное множество. Примеры. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность. Основные свойства операций объединения и пересечения: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Операция дополнения. Законы де Моргана. Мощность множества. Конечные и счетные множества.Литература: [5] стр. 12-15, [16] гл.1, стр. 19-31.Задачи: [6], №№ 101 (1, 3), 106 (1,3,5,7), 118, 128 (1,3,5,7), 139 (1,3,5).Пример решения задач:<...