Интересные примеры в метрических пространствах
Интересные примеры в метрических пространствах 1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром , то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),…………………………,еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),………………………….Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (nm) равно . Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной -сети ни при каком <2/2.Рассмотрим в l2 множество П точек x=(x1, x2, , xn, ...),удовлетворяющих условиям:| x1|1, | x2|1/2, ,| xn|1/2n-1, ...Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.Пусть >0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1</2. Каждой точке x=(x1, x2, , xn, ...)из П сопоставим точку x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...)из того же множества. При этом (x,x*)<1/2n-1</2.Множество П* точек вида x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную /2-сеть. Она будет в то же время -сетью во всем П. Докажем это.Доказательство: для , выберем n так, что 1/2n-1</2.xП: x=(x1, x2, , xn, ...) сопоставимx*=(x1,
Другие файлы:
Избранные главы нелинейного анализа
Рассмотрены актуальные проблемы нелинейного функционального анализа: разрешимость операторных уравнений в частично упорядоченных множествах, топологич... Сходимость вероятностных мер
2.5 МбСтраницы: 352Описание:Книга посвящена общей теории слабой сходимости вероятностных мер в метрических пространствах. Развитые в последние пятна... Метрики у православных, инославных, старообрядцев, сектантов, евреев, караимов и магометан.
Сборник законоположений, церковных правил и распоряжений, разъяснений и указаний о ведении метрических книг и ведомостей, выдач метрических свидетель... Введение в анализ
Книга является первым выпуском учебного комплекса `Математика в техническом университете`, состоящего из двадцати выпусков. Знакомит читателя... Основы тензорного анализа и механика сплошной среды
Учебник состоит из двух частей: тензорного исчисления и механики сплошной среды. В первой части рассмотрена алгебра тензоров на линейных пространствах...
|
