Теория вероятности

Вероятность появления события. Непрерывная случайная величина и функция распределения. Дисперсия непрерывной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение. Формула полной вероятности, математическое ожидание. Интегральная теорема Лапласа.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Теория вероятностей

Вариант №1



6. С первого автомата на сборку поступает 20 %, со второго - 30 %, с третьего - 50 % деталей. Первый автомат даёт в среднем 0,2 % брака, второй - 0,3 %, третий - 0,1 %. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

Решение:

Обозначим через А событие: поступившая на сборку деталь бракованная. Можно теперь сделать три предположения:

В₁ - деталь произведена первым автоматом;

В₂ - деталь произведена вторым автоматом;

В₃ - деталь произведена третьим автоматом.

Тогда соответствующие вероятности будут:

Р(В₁) = 0,2;

Р(В₂) = 0,3;

Р(В₃) = 0,5.

Условная вероятность того, что деталь будет бракованная, если она произведена первым автоматом: Р_В1(А) = Р₁ = 0,2.

Аналогично: Р_В2(А) = 0,3 и Р_В3(А) = 0,1.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной (общий процент брака) находим по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(В₁)Р_В1(А) + Р(В₂)Р_В2(А) + Р(В₃)Р_В3(А) =

= 0,2х0,2 + 0,3х0,3 + 0,5х0,1 = 0,04 + 0,09 +0,06 = 0,19.

7. Вероятность выигрыша по лотерейному билету будет р = 0,3. Имеется 4 билета. Определить вероятности всех возможных исходов для владельца этих билетов: а) ни один билет не выиграет; б) выиграет один билет; в) два билета выиграют; г) 3 билета выиграют; д) 4 билета выиграют.

Решение:

По формуле Бернулли: вероятность того, что в серии из n = 4 билетов, выиграет ровно k билетов (безразлично в какой последовательности)

P_n(k) = p^k q^{n - k} = p^k q^{n - k}, где q = 1 - p = 1 - 0.3 = 0.7.

Следовательно:

k = 0, Р(0) = 1 х 0.3⁰ х 0,7⁴ = 1 х 1 х 0,2401 = 0,2401;

k = 1, Р(1) = х 0,3 х 0,7³ = 4 х 0,3 х 0,343 = 0,4116;

k = 2, Р(2) = х 0,3² х 0,7² = 6 х 0,09 х 0,49 = 0,2646;

k = 3, Р(3) = х 0,3³ х 0,7 = 4 х 0,09 х 0,7 = 0,252;

k = 4, Р(4) = х 0,3⁴ х 0,7⁰ = 1 х 0,0081 х 1 = 0,0081.

8. При некотором технологическом процессе вероятность изготовления годной детали равна 0,8. Определить наиболее вероятное число годных деталей в партии из 135 штук.

Решение:

Наивероятнейшее число k₀ благоприятных исходов определяем по формуле:

np - q k₀ np + р,

135 х 0,8 - 0,2 k₀ 135 х 0,8 + 0,8;

107,8 k₀ 135,8;

В нашем случае np - q дробное, значит существует одно наивероятнейшее число k₀. Так как np = 135 х 0,8 = 108 - целое, то искомое наивероятнейшее число:

случайный величина распределение вероятность

k₀ = np = 108 штук.



9. При массовом производстве шестерён вероятность брака при штамповке равна р = 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад выбранных шестерён 50 будут бракованными?.

Решение:

Найдём математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х - числа появления события А (наугад выбранные шестерни) в 400 независимых испытаниях:

М(Х) = np = 0.1 x 400 = 40;

D(X) = npq = 0.1 x 400 x (1 - 0.1) = 36.

Найдём максимальную разность между заданным числом появлений события (50 штук) и математическим ожиданием:

? = 50 - 40 = 10.

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме:

Р(/Х - М(Х)/ ?) 1 - D(X)/?².

После подстановок:

Р(/Х - 40/ 10) 1 - 36/100 = 0,64 - это и есть искомая вероятность.

10. Вероятность появления события на время испытаний р = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз при 100 испытаниях.

Решение:

По условию р = 0,8; q = 0.2; k₁ = 75; k₂ = 90.

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:



P_n(k₁; k₂) = Ф(х'') - Ф(х') = Ф[ - Ф[].

Подставляя данные задачи, получим

Р(75; 90) = Ф] - Ф[ = Ф(2,5) - Ф(-1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

11. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х,

Найти:

1) значение вероятности р₃, соответствующую значению х₃;

2) M(X); D(X); ?(X);

3) функцию распределения F(x) и построить её график;

4)Построить многоугольник распределения случайной величины Х.

Решение:

Х	1	3	6	8
Р	0,2	0,1	Р3	0,3

Общая вероятность ?Р = 1, тогда 0,2 + 0,1 + р₃ + 0,3 = 1

Р₃ = 1 - 0,2 - 0,1 - 0,3 = 0,4.

Получаем распределение:

Х	1	3	6	8
Р	0,2	0,1	0,4	0,3

1. Математическое ожидание:

М(Х) = ?р_i x_i = 1 x 0.2 + 3 x 0.1 + 6 x 0.4 + 8 x 0.3 = 0.2 + 0.3 + 2.4 + 2.4 = 5.3



2. Дисперсия:

D(X) = M(X²) - (M(X))².

Закон распределения для Х²

Х2	1	9	36	64
Р	0,2	0,1	0,4	0,3

Тогда М(Х²) = ?р_i = 1 х 0,2 + 9 х 0,1 + 36 х 0,4 + 64 х 0,3 = 0,2 + 0,9 + 14,4 + 19,2 = 34,7.

D(X) = 34.7 - 5.3² = 34.7 - 28.09 = 6.61

3. Среднее квадратическое отклонение:

?(Х) = = = 2.571

4. Функция распределения:

Х	1	3	6	8
F(x)	0.2	0.2+0.1=0.3	0.3+0.4=0.7	0.7+0.3=1.0

Построим график:



13. Вероятность изготовления бракованного изделия равна 0,0002. Вычислить вероятность того, что контролёр, проверяющий качество 5 000 изделий, обнаружит среди них k = 4 бракованных.

Решение:

Вероятность изготовления бракованного изделия мала, p = 0.0002, а число изделий в партии велико, n = 5000, поэтому случайное число бракованных изделий имеет приближённо распределение Пуассона.

P_n (k) = ?^k e^-? / k!

Найдём ? = np = 5000 x 0.0002 = 1

P₅₀₀₀(4) = 1⁴ e^-1 / 4! = 0.3679/24 = 0.0153

14. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения



F(X) =

Найти:

1)функцию плотности вероятности;

2) M(X); D(X); ?(X);

3) вероятность того, что в результате опыта случайная величина Х примет значение принадлежащее интервалу (1/4; 3/4).

Построить графики функций F(X) , f(X).

Решение:

1.Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

f(x) = F'(x) =

2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможное значение которой принадлежит в заданном случае интервалу (0; 1):

М(Х) = = 2 = =.

Дисперсия непрерывн...