Проверка статистических гипотез и доказательство гипотез о равенстве

Анализ этапов проверки статистических гипотез. Сравнение центров распределений. Концепция объектно-ориентированного программирования. Проверка неразличимости дисперсий с помощью критерия Кохрена. Определение границ существования математического ожидания.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко

Инженерно-технический институт

Кафедра информационных технологий и автоматизированного управления производственными процессами

КУРСОВАЯ РАБОТА

по специальности

тема: «ПРОВЕРКА СТАТЕСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ»

Работу выполнил

студент группы ИТ09Др62ИВ1

Голованенко К.

Руководитель Бабич А. П.

Тирасполь, 2013



Введение

В настоящее время отмечены стремительным расширением области применения теоретико-вероятностных и статистических методов. Они применяются в различных науках: физике, техники, геологии, биологии, лингвистике, медицине, социологии, управлении и т.д. Методы математической статистики используются при принятии решения в условиях неопределенности. Один из основных разделов статистики - теория проверки статистических гипотез. Понятие практической статистики, процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы относительно природы или величины неизвестных статистических параметров анализируемого явления с имеющимися в распоряжении исследователя выборочными данными (выборкой).

Статистическая проверка гипотез проводится с помощью некоторого статистического критерия по общей логической схеме, включающей нахождение конкретного вида функции от результатов наблюдения (критической статистики), на основании которой принимается окончательное решение. Например, могут рассматриваться гипотезы об общем законе распределения исследуемой случайной величины, об однородности двух или нескольких обрабатываемых выборок, о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности и др. Результат проверки может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе), либо неотрицательным. В первом случае гипотеза ошибочна, во втором - ее нельзя считать доказанной: просто она не противоречит имеющимся выборочным данным, однако таким же свойством могут наряду с ней обладать и другие гипотезы. Для статистической проверки гипотез используются разные критерии. В частности, когда проверяется согласие между выборочным и гипотетическим распределениями, используется критерий согласия, например, критерий Пирсона «хи-квадрат», критерий Колмогорова-Смирнова и др.

Статистические критерии приводятся вместе с указанием как тех областей, где их применение вполне оправдано, так и тех областей, где применение требует осторожности. Большое внимание уделено построению критериев, в том или ином смысле наилучших.

Цель работы - привить навыки по обработке экспериментальных данных, представленных несколькими выборками сравнительно небольшого объема, доказательства гипотез о равенстве их средних арифметических и дисперсий, а также о возможности их объединения в одну выборку суммарного объема.

Поставленная цель определила задачи работы:

1. Определить сущность, понятие проверки статистических гипотез.

2. Рассмотреть этапы проверки статистических гипотез.

3. Рассмотреть критерии проверки статистических гипотез и применить их на практике.

4. Ознакомиться с различными проверками статистических гипотез.

5. Определение актуальности данной тематики и возможности ее перехода в ВКР, ее практической или научной значимости;

6. Создание структуры ПО и необходимой сопроводительной документации.

Структура работы: данная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Во введении изложен ход предстоящей работы. 1 глава содержит теоретическое описание общих понятий проверки статистических гипотез. Во 2 главе выбирается и обосновывается выбор технологии, языка программирования и среды разработки для ПО. В третьей главе описан алгоритм ПО. В четвертой приведены расчеты проверок различных типов статистических гипотез. В заключении подведены итоги работы, сделаны выводы. Список литературы включает литературные источники, используемые в ходе работы.



1. Проверка статистических гипотез

1.1 Статистические гипотезы

Под статистическими гипотезами понимаются некоторые предположения относительно характера распределения вероятностей генеральных совокупностей и их параметров.

Проверка гипотезы заключается в сопоставлении некоторых статистических показателей (критериев проверки), вычисленных по данным выборки, со значением этих показателей, определенных теоретически в предположении, что гипотеза верна. Как правило, одновременно проверяются две гипотезы - нулевая (обозначается Н) и альтернативная (обозначается H). Нулевая гипотеза заключается в утверждении равенства чего-то чему-то, например, запись Н₀: = М[X] означает нулевую гипотезу, состоящую в утверждении равенства выборочного среднего арифметического математическому ожиданию генеральной совокупности. Альтернативная гипотеза, напротив, заключается в утверждении неравенства этих же величин, чему соответствует запись .

При проверке гипотезы предварительно задаются некоторым уровнем значимости q (обычно q=1, 2 или 5 %), то есть степенью риска, при котором может быть принята неправильная гипотеза. Тогда вероятность попадания критерия проверки в область допустимых значений (доверительная вероятность) равна Р_дов = = 1 - q /100. Если значения критерия, вычисленные по данным выборкам, окажутся в критической области, то нулевая гипотеза Н₀ бракуется и принимается альтернативная гипотеза H. При значении критерия, принадлежащих области допустимых значений, ничего нельзя утверждать категорически, а можно лишь сделать заключение, что данные выборки не противоречат нулевой гипотезе Н₀.



1.2 Сравнение центров двух выборочных распределений

Одна из наиболее часто встречающихся задач статистической проверки гипотез заключается в сравнении центров распределений двух нормально распределенных величин X и Х, то есть

Н₀: ;

.

Для ее решения предварительно определяются оценки математического ожидания, (средние арифметические) и , а также эмпирические дисперсии и , а в качестве критерия берется t-распределение Стьюдента

где - средневзвешенная дисперсия с числом степеней свободы , а и - соответствующие объемы выборок.

По таблице критических значений (Приложения Д) для выбранного уровня значимости q находим t (q,v). Если t < t ,то гипотеза Н₀ о равенстве центров распределения принимается, если нет - отвергается и принимается альтернативная гипотеза .

С помощью критерия Стьюдента можно решать задачи не только о равенстве (неравенстве) центров распределения двух выборок, но и о равенстве (неравенстве) центра распределения выборки некоторому числу (в том числе и нулю), а также о доверительных границах и интервалах.



1.3 Сравнение центров нескольких выборочных распределений

Если встречается задача о сравнении центров нескольких выборочных распределений, то ее можно решить поочередным сравнением центра каждой выборки всеми другими с помощью критерия Стьюдента. Однако эта достаточно длительная процедура может быть сокращена с помощью одного из методов множественных сравнений. Рассмотрим один из наиболее простых таких методов - метод Тьюки.

Пусть имеются k выборок одинакового объема n, имеющих свои средние арифметические и эмпирические дисперсии S . Тогда в случае, если выборки взяты из нормальных совокупностей, существует некоторый интервал , внутри которого центры выборок статистически неразличимы

(1.2)

где Q(q; k; v) = R/S = () / S - стьюдентизированный размах (таблица 4 Приложения);

- средняя выборочная дисперсия с v = k(n-1) числом степеней свободы.

1.4 Сравнение выборочных дисперсий

Весьма часто встречается задача о равенстве двух выборочных (эмпирических) дисперсий, когда надо определить, взять ли две выборки из двух генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями (или даже из одной генеральной совокупности). По данным двух выборок находят эмпирические дисперсии (оценки дисперсий) S с v₁ = степенью свободы и S с v₂ = степенью свободы. В этом случае нулевая гипотеза, подлежащая проверке, запишется как H: S = S, а альтернативная ей как Н: S S.

Для проверки нулевой гипотезы составляют дисперсионное отношение

, (1.3)

которое представляет собой F-распределение Фишера. При этом в числитель всегда следует ставить большую дисперсию, так как теоретически распределение F всегда больше единицы. Затем по выбранному уровню значимости q и степеням свободы и находим табличное (критическое) значение (q; ,) (таблица 6 Приложения).

Если F . То нулевая гипотеза Н₀ о равенстве выборочных дисперсий принимается, если F > , то нулевая гипотеза Н₀ отвергается и принимается альтернативная гипотеза .

Критерий Фишера используется при проверке точности измерений одних и же величин в разных сериях опытов или разными операторами, приборами и т.п. Иногда в статистических расчетах приходится иметь дело с н...