Расчеты с простыми процентами

Расчеты со сложными процентами. Количественный анализ потоков платежей. Планирование погашения долгосрочных задолженностей. Поиск стоимости потока платежей постнумерандо, на конец вложений. Стоимость вклада через стоимость постоянных потоков платежей.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

1. Задания по теме «Расчеты с простыми процентами»

Ссуда в размере 100 000 руб. выдана 21 января под 8% годовых. Срок возврата ссуды - 5 октября. Определите размер погасительного платежа, применяя:

А) точные проценты с фактическим числом дней ссуды;

Б) обыкновенные проценты с фактическим числом дней ссуды;

В) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

А) Найдем по таблице №1 фактическое число дней ссуды - 257. Дней в году 365. Применяем формулу для нахождения размера погасительного платежа.

S=P (l+ni),

где P - первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит) = 100000;

S - наращенная величина кредита (сумма, подлежащая возврату);

n - срок кредита, измеряемый в годах = 257 дней;

i - годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях) = 8%.

S=100000*(1+(257/365)*0,08)=105632,88 руб.

Б) Фактическое число дней ссуды - 257. Дней в году 360. Подставляя данные имеем:

S=100000*(1+ (257/360)*0, 08) =105711, 11 руб.

В) Число дней ссуды - 254. Дней в году 360. Подставляя данные имеем:

S=100000*(1+ (254/360)*0, 08) =105644, 44 руб.

Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - 6%, в каждом следующем полугодии ставка повышается на 0,5%.

Определите множитель наращения за 2,5 года.

Решение

Если в течение срока кредита процентная ставка изменяется, то множитель наращивания равен:

где n - срок кредита, измеряемый в годах;

i - годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях).

В нашем случае n=6%, n=6%, n=6,5%, n=7%, n=7,5%.

k=1+0,5*0,06+0,5*0,06+0,5*0,065+0,5*0,07+0,5*0,075=1,165

Обязательство уплатить через 180 дней 300 000 руб. с процентами по ставке 6% годовых было учтено в банке за 120 дней до срока, учетная ставка 7,5%.

Определите:

А) полученную при учете сумму;

Б) эквивалентную ставку процентов, дающую при учете тот же результат (К=360).

Решение

А) Используем формулу для нахождения суммы выплаты:

,

где d количество дней кредита;

P - первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит);

S - наращенная величина кредита (сумма, подлежащая возврату);

K - дней в году (в зависимости от метода);

i - годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях).

S=300000*(1+ (60/360)*0,075=303750 руб.

Б) Найдем прибыль банка за 180 дней:

S=300000*(1+ (180/360)*0,075=309000 руб.

Изменим формулу для вычисления эквивалентной процентной ставки:

i= (((S/P) - 1*k)/d

i= (((309000/300000) - 1)*360)/60=18%

Решено консолидировать (объединить) три платежа со сроками 15 мая, 15 июня, 15 августа. Суммы платежей 10000, 20000 и 15000 руб. соответственно. Срок консолидированного платежа 1 августа. Ставка процентов - 8%.

Определите сумму консолидированного платежа. При начислении процентов используйте метод 365/360.

Решение

Найдем по таблице №1 сроки платежей на 1 августа. d=78; d=47; d=-14.

Используя формулу:

,

где d количество дней кредита;

P - первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит);

S - наращенная величина кредита (сумма, подлежащая возврату);

K - дней в году (в зависимости от метода);

i - годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях).

S=10000*(1+ (78/360)*0, 08) =10173, 33 руб.

S=20000*(1+ (47/360)*0, 08) =20288, 88 руб.

S=15000*(1 - (14/360)*0, 08) =14953, 33 руб.

Консолидированный платеж:

S=10173, 33+20288, 88+14953, 33=45415, 54 руб.

2. Задания по теме «Расчеты со сложными процентами»

Кредит в размере 300000 руб. выдан на срок 3 года 160 дней. Контрактом предусмотрена ставка сложных процентов, равная 6,5% годовых.

Определите сумму долга на конец срока, используя:

А) точный метод начисления сложных процентов;

Б) смешанный метод начисления сложных процентов. Сравните полученные результаты.

Решение

а) Для вычисления суммы долга на конец срока, используем формулу точного метода начисления сложных процентов:

S=P (1+)

где j - номинальная ставка процентов, задаваемая для срока, равного одному году;

т - количество начислений процентов в год =1

п - срок кредита, измеряемый в годах

S_T = 300000 * (1 + (0,065/ I)) ¹*^{3, 44} = 372566, 58 руб.

б) Для вычисления суммы долга на конец срока, используем формулу смешанного метода начисления сложных процентов:

S=P (1+)(1+D(mn))

где E(mn) - целая часть показателя степени в предыдущей формуле

D(тп) - дробная часть показателя степени в предыдущей формуле

S_c = 300000 * (1 + (0,065 / 1))^1*3 * (1 +(0,065 / 1 * 0,44)) = 372749,09 руб.

Сумма долга вычисленного точным методом больше.

Сравните условия вложения средств в банк в следующих случаях:

1) номинальная ставка 26% при ежемесячном начислении процентов;

2) номинальная ставка 27% при ежеквартальном начислении процентов;

3) номинальная ставка 28% при начислении процентов каждые полгода;

Сравнение проведите двумя способами, используя: а) эффективную ставку процентов; 6) время удвоения вклада.

Решение

а) Найдем эффективную ставку процентов по формуле:

i= (1+)-1

т - количество начислений процентов в год: m₁ = 12, m₂ = 4, m₃ = 2.

1) i = (1 +(0,26 / 12)¹²- 1 = 0,2933

2) i= (1 + (0,27 / 12)⁴ - 1 = 0,2985

3) i_|= (1 + (0,28 / 12)² - 1 = 0,2996

б) Найдем время удвоения по формуле:

т ₂=

1) т₂ = In 2 / (12 ln (1 +(0,26/ 12))) = 2,6947

2) т₂ = In 2 / (4 ln (1 + (0,27 / 4))) = 2,6529

3) т₂ = In 2 / (2 ln (1 + (0,28 / 2))) =2,645

Вклад под 28% самый выгодный.

Кредит в сумме 100 000 руб. взят на 5 лет с ежегодным начислением процентов по ставке 5%. Соглашение пересмотрено так, что через два года производится выплата 30 000 руб., а еще через четыре года выплачивается оставшаяся часть долга.

Решение

1) Найдем сумму выплаты через 2 года

S = 100000 * (1 +(0,05 / 1) = 110250 руб.

Т.к. вкладчик погасил часть платежа, то сумма составит:

S = 110250 - 30000 = 80250 руб.

2) Найдем сумму выплаты через 4 года

S₀ = 80250 * (1 + (0,05 / I)¹ *⁴ = 97544,37 руб.

3. Задания по теме «Количественный анализ потоков платежей»

Вычислите коэффициент аккумуляции за 5 лет для потока платежей пренумерандо, если взносы осуществляются ежеквартально, начисление процентов ежеквартальное по номинальной ставке 10%.

Решение

Коэффициент аккумуляции для потока платежей пренумерандо вычисляется по формуле:

;

где п - срок потока платежей в годах - 5 лет

р - количество выплат в течение года - 4

т - количество начислений процентов в течение года - 4

a q находится по формуле:

q=1+,

j - номинальная ставка сложных процентов - 10%

q = 1 +0, 1 / 4= 1,025

k = 1,0254/4 * ((1,0254*5) - 1)/(1,0254/4 - 1) = 26,18

Решите предыдущую задачу при условии, что взносы осуществляются ежемесячно, а начисление процентов - ежеквартально.

Решение

Таким образом р - количество выплат в течение года - 12 т - количество начислений процентов в течение года - 4

q - 1,025

...