Основы финансовой математики

Определение первоначальной суммы, положенной в банк, на основе данных по движению денежных средств. Величина простой учетной ставки, обеспечивающей ту же величину начисленных процентов. Контур финансовой операции для актуарного метода, правила торговца.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

1. Какая сумма была первоначально помещена в банк, если при закрытии счета вкладчик получил 17 тыс. д. ед. Движение денежных средств на счете было следующим:

1.04 - сумма Х, ставка простых процентов 8%

25.04 - внесено дополнительно 13 тыс. д. ед.

8.08 - внесено дополнительно 2 тыс. д. ед.

9.09 - снято 5 тыс. д. ед.

30.10 - счет закрыт.

Расчет осуществляется английским способом.

Решение

Начисленные за весь срок проценты

Наращенная сумма

I - проценты за весь срок ссуды

P - первоначальная сумма долга

S - наращенная сумма, то есть сумма в конце срока

i - ставка наращения процентов

n - срок ссуды

t - число дней ссуды

K - временная база начисления процентов (time basis)

K = 365

n (9.09 - 30.10) = 51/365 = 0.1397

P = 17 * (1 - 0.1397 * 0,08) = 16,81 тыс. д. ед.

n (8.08 - 9.09) = 31 / 365 = 0,0849

P = (16,81 + 5) * (1 - 0,0849 * 0,08) = 21,66 тыс. д. ед.

n (25.04 - 8.08) = 105 / 365 = 0,2877

P = (21,66 - 2) * (1 - 0,2877 * 0,08) = 19,21 тыс. д. ед.

n (01.04 - 25.04) = 24 / 365 = 0,0658

P = (19,21 - 13) * (1 - 0,0658 * 0,08) = 6,18 тыс. д. ед.

Ответ: Первоначально в банк было помещено 6,18 тыс. д. ед.

2. Пусть современная стоимость 1000 $, которые мистер А должен получить по банковскому депозиту через два года при постоянной силе роста д, равна удвоенной современной стоимости 600 $, которые мистер В получит по депозиту через 4 года при той же д. Найти д

Решение:

S_А(2) - сумма, которую получит мистер А через 2 года

S_В(4) - сумма, которую получит мистер В через 4 года

S_А(0)=2 S_В(0)

д - сила роста (интенсивность наращения)

Через 2 года мистер А должен получить 1000 $ при интенсивности роста д:

S_А(2)= S_А(0)·е ^д·2 (1)

Через 4 года мистер В должен получить 600 $ при интенсивности роста д:

S_В(4)= S_В(0)·е ^д·4 (2)

При этом S_А(0)=2 S_В(0). Подставим числовые значения в (1) и (2) и выразим из них, например, S_В(0):

1000=2 S_В(0)·е ^д·2

S_В(0)= 1000/(2·е ^д·2) (3)

600=S_В(0)·е ^д·4

S_В(0)= 600/(е ^д·4) (4)

Приравняем (3) и (4) и выразим из полученного равенства д:

(1000/2)· е^-д·2=600· е^-д·4

е^-д·2· е^д·4=600/500

е^д·2=1,2

д=0,5 ln 1,2=0,091=9,1%

Ответ: Сила роста 9,1%

3. Предприниматель взял в банке кредит на сумму 200 тыс. руб. на условиях начисления сложных процентов по процентной ставке 25% годовых. Через 2 года он вернул банку 120 тыс. руб., но еще через год взял кредит в сумме 60 тыс. руб. Через 3 года после этого предприниматель вернул полностью полученные кредиты. Какую сумму при этом он выплатил банку?

Решение

S = P (1+r)ⁿ

P - первоначальная сумма долга

S - наращенная сумма, то есть сумма в конце срока

n - срок кредита

S₁ = 200 * (1 + 0,25)² = 312,5 тыс. руб.

S₂ = (312,5 - 120) * 1,25 = 240,625 тыс. руб.

S₃ = (240,625 + 60) * 1,25³ = 587,16 тыс. руб.

S = 120 + 587,16 = 707,16 тыс. руб.

Ответ: Предприниматель выплатил банку 707,16 тыс. руб.

4. Банком выдан кредит на 3 месяца под 27% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов. Определить величину простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов

Решение:

I = (1+r/N)ⁿ

I_слож = (1 + 0,27/12)³ = 1,069

I_прост =0,069/3 * 12 = 0,276 = 27,6%

Ответ: Такую же величину начисленных процентов за 3 месяца обеспечит простая ставка 27,6% годовых.

учетный ставка финансовый актуарный

5. Ссуда в размере 3 000 000 руб. выдана банком 20 января на срок 1 год. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся платежи в банк: 20 апреля в размере 500 000 руб., 20 июля - 200 000 руб., 20 октября - 800 000 руб. На ссуду банк предусматривает начисление простых процентов по ставке 30% годовых. Рассчитать контур финансовой операции для актуарного метода и правила торговца и определить величину погасительного платежа в обоих случаях. Результаты сравнить

Решение:

Пусть ссуда выдана размером S₀ = 3 000 000 руб.

До окончания ссудной операции было сделано три частичных платежа:

A₁ = 500 000 руб. через 3 месяца (t₁ = ј) после начала сделки;

A₂ = 200 000 руб. через полгода (t₂ = Ѕ) после начала сделки;

A₃ = 800 000 рус. через 9 месяцев (t₃ = ѕ) после начала сделки.

Актуарный метод

Найдём последний (погашающий) платёж A₄, сделанный в момент завершения операции (через год после начала сделки).

За время t₁ = ј года на сумму основного долга (которая равна размеру кредита) было начислено (30% · ј · 3 000 000)/100% = 225 000 руб. процентных денег. Первый частичный платёж больше, чем эта сумма, поэтому он сначала идёт на погашение процентов (225 000 руб.), а затем - на погашение основного долга (275 000 руб.). В результате после внесения первого частичного платежа размер задолженности заёмщика составил S₁ = 3 000 000 - 275 000 = 2 725 000. Начиная с момента времени t₁ = ј начисление процентов осуществляется уже на эту сумму.

С момента времени t₁ = ј по момент времени t₂ = Ѕ на сумму долга S₁ было начислено (30% · (Ѕ - ј) · 2 725 000)/100% = 204 375 процентных денег. Второй частичный платёж (200 000) меньше, чем эта сумма, поэтому он полностью присоединяется к третьему частичному платежу. Величина задолженности остаётся той же: S₂ = S₁.

С момента времени t₁= ј по момент времени t₃ = ѕ на задолженность S₁ было начислено (30% · (ѕ - ј) · 2 725 000)/100% = 408 750 руб. процентных денег. Второй и третий частичный платёж в сумме (200 000 + 800 000 = 1 000 000 руб.) превосходят эту величину, поэтому они идут на погашение процентов (408 750 руб.) и на уменьшение основного долга (1 000 000 - 408 750 = 591 250 руб.). Значит, после внесения этих платежей размер задолженности заёмщика составит S₃ = 2 725 000 - 591 250 = 2 133 750 руб.)

Таким образом, за 3 месяца (ј года) до окончания срока ссуды заёмщик должен вернуть кредитору лишь 2 133 750 руб. За оставшееся время на эту сумму будет начислено (30% · ј · 2 133 750)/100% = 160 031,25 процен...