Математические финансовые вычисления

Финансовая эквивалентность обязательств. Оценка денежных потоков. Консолидация постоянных дискретных аннутиентов. Измерение доходности финансовых операций. Полная доходность различных видов облигаций. Определение доходности облигаций с учетом налогов.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Финансовая математика

Финансовая эквивалентность обязательств

Существует обязательство произвести платежи через 6 лет; первоначальная сумма долга 2 млн. руб. Проценты начисляются ежегодно по ставке 4%. Стороны согласились пересмотреть соглашение. Обязательство будет погашено следующим образом: через 2 года производится выплата 500 тыс. руб., через следующие три года выплата 800 тыс.руб.; остальной долг гасится через 8 лет после начала обязательства.

Необходимо определить сумму окончательного платежа.

Для решения задачи при составлении уравнения эквивалентности использовать момент выплаты 500 тыс. руб.

Решение. Расчёт суммы нового платежа определяется на основе уравнения эквивалентности:

, где

Sk - ряд заменяемых платежей со сроками nj;

Sq - платежи со сроками nk, предусматриваемые новыми условиями;

V - дисконтный множитель.

Для решения задачи при составлении уравнения эквивалентности используем момент выплаты 500 тыс. руб.(конец второго года):

, где

S - искомая сумма окончательного платежа.

По данным задачи тыс. руб., тыс. руб., тыс. руб.,

i = 4% = 0,04, , получим следующее уравнение:

, откуда

тыс.руб.

Ответ: сумма окончательного платежа 1 204,587 тыс.руб.

Оценка денежных потоков

Три ренты постнумерадно - немедленные, годовые - заменяются одной отложенной на 2 года рентой постнумерандо. Согласно договорённости заменяющая рента имеет срок 7 лет, включая отсрочку. Характеристика заменяемых рент: R = 150, 200, 250 тыс. руб., сроки этих рент: 5, 7, 9 лет. Ставка сложных процентов 8%.

Определить размер члена заменяющей ренты.

Решение. При консолидации постоянных дискретных аннутиентов уравнение эквивалентности имеет вид:

, где

A - современная стоимость заменяющей ренты;

Aq - современная стоимость q-й заменяемой ренты.

Найдём современные стоимости заменяемых рент по формуле:

, где

R - член ренты;

 - коэффициент приведения ренты;

i - ставка начисляемых процентов;

n - срок ренты.

По данным задачи тыс. руб., тыс. руб., тыс. руб., i = 8% = 0,08, лет, лет, лет, получим

тыс. руб.;

тыс. руб.;

тыс. руб.

Современную стоимость заменяющей ренты найдём по формуле:

, где

A - современная стоимость ренты на начало выплат;

i - ставка начисляемых процентов;

n - срок ренты;

V - дисконтный множитель по ставке i;

t - срок, на который откладывается рента.

Подставив данные i = 0,08, t = 2 года, n = 7 лет, получим уравнение эквивалентности

, откуда

тыс. руб.

Ответ: член заменяющей ренты равен 717,333 тыс.руб.

Измерение доходности финансовых операций

Сертификат с номиналом 200 тыс. руб. с объявленной доходностью 10% годовых (простые проценты) сроком 540 дней. Куплен за 210 тыс. руб. за 210 дней до его оплаты. Какова доходность операции в виде сложной ставки процентов?

Решение. Эффективность финансового инструмента, приносящего простые проценты, в случае, если он покупается после выпуска и погашается в конце срока, в виде сложной процентной ставки вычисляется по формуле:

, где

Р1 - номинал;

P2 - цена продажи;

- сроки до погашения;

k - временная база (количество дней в году).

По данным задачи тыс. руб., тыс. руб., i = 10% = 0,1, дней, дней, временную базу возьмём k = 365 дней, тогда

= 1,1677 - 1 = 0,1677 = 16,77%

Ответ: доходность операции в виде сложной процентной ставки равна 16,77%.

Полная доходность различных видов облигаций

Доходность облигаций характеризуется несколькими показателями. Различают купонную (coupon rate), текущую (current, running yield) и полную доходность (yield to maturity, redemption yield, yield).

Купонная доходность определена при выпуске облигации, и, следовательно, нет необходимости ее рассчитывать. Текущая доходность характеризует отношение поступлений по купонам к цене приобретения облигации. Этот параметр не учитывает второй источник дохода получение номинала или выкупной цены в конце срока. Поэтому он непригоден при сравнении доходности разных видов облигаций. Достаточно отметить, что у облигаций с нулевым купоном текущая доходность равна нулю. В то же время они могут быть весьма доходными, если учитывать весь срок их "жизни".

Наиболее информативным является показатель полной доходности, который учитывает оба источника дохода. Именно этот показатель пригоден для сравнения доходности инвестиций в облигации и другие ценные бумаги. Итак, полная доходность, или, если применить старую коммерческую терминологию, ставка помещения, измеряет реальную эффективность инвестиций в облигацию для инвестора в виде годовой ставки сложных процентов. Иначе говоря, начисление процентов по ставке помещения на цену приобретения облигации полностью обеспечивает выплату купонного дохода и сумму для погашения облигации в конце срока.

Рассмотрим методику определения показателей доходности различных видов облигаций.

Облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов. При анализе данного вида облигаций выплату номинала в необозримом будущем во внимание не принимаем.

Введем следующие обозначения:

g объявленная норма годового дохода (купонная ставка процента);

it текущая доходность;

i полная доходность (ставка помещения).

Текущая доходность находится следующим образом:

. (1)

Если по купонам выплата производится р раз в году (каждый раз по ставке g/p), то и в этом случае на практике применяется формула (1), хотя суммирование доходов, выплачиваемых в разные моменты времени, строго говоря, некорректно.

Поскольку купонный доход постоянен, то текущая доходность продаваемых облигаций изменяется вместе с изменением их рыночной цены. Для владельца облигации, который уже инвестировал некоторые средства, эта величина постоянна.

Перейдем к полной доходности. Поскольку доход по купонам является единственным источником текущих поступлений, то очевидно, что полная доходность у рассматриваемых облигаций равна текущей в случае, когда выплаты по купонам ежегодные: i = it. Если же проценты выплачиваются р раз в году (каждый раз по норме g/p), то получим

(2)

Пример 1. Вечная рента, приносящая 4,5% дохода, куплена по курсу 90. Какова финансовая эффективность инвестиции при условии, что проценты выплачиваются раз в году, поквартально (p = 4)?

.

Облигации без выплаты процентов. Данный вид облигации обеспеч