Расчет стержня круглого поперечного сечения, находящегося под действием изгиба с кручения

Определение размеров деталей или внешних нагрузок, при которых исключается возможность появления недопустимых с точки зрения нормальной работы конструкции деформаций. Напряжения в точках поперечного сечения при изгибе с кручением. Расчет на прочность.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Содержание

Введение

1. Сложное сопротивление. Изгиб с кручением

1.1 Характерный вид нагружения

1.2 Составление расчетной схемы

1.3 Напряжения в точках поперечного сечения при изгибе с кручением

1.4 Расчет на прочность при изгибе с кручением стержня круглого поперечного сечения

2. Задача

2.1 Исходные данные

2.2 Решение

Заключение

Литература



Введение

Сопротивление материалов является частью более общей науки - механики твердого деформируемого тела, в которую входят: теория упругости, теория пластичности и ползучести, теория сооружений, строительная механика, механика разрушения и др.

Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и надежности элементов инженерных конструкций. Методами сопротивления материалов ведутся практические расчеты и определяются необходимые, как говорят, надежные размеры деталей машин, различных конструкций и сооружений.

Прочностью называется способность элемента конструкции сопротивляться воздействию приложенных к нему сил, не разрушаясь.

Жесткостью называется способность элемента конструкции сопротивляться воздействию приложенных к нему сил, получая лишь малые упругие деформации.

Устойчивостью называется способность элемента конструкции сохранять первоначальную форму равновесия под действием приложенных сил.

Реальные тела не являются абсолютно твердыми и под действием приложенных к ним сил изменяют свою первоначальную форму и размеры, то есть деформируются. Деформации тела, исчезающие после снятия внешних сил, называются упругими, а не исчезающие - остаточными или пластическими деформациями.

Определение размеров деталей или внешних нагрузок, при которых исключается возможность разрушения деталей, является целью расчета на прочность.

Определение размеров деталей или внешних нагрузок, при которых исключается возможность появления недопустимых с точки зрения нормальной работы конструкции деформаций этих деталей, является целью расчета на жесткость.



1. Сложное сопротивление. Изгиб с кручением

1.1 Характерный вид нагружения

Изгиб с кручением стержня возникает тогда, когда внешние силы (включая и реакции внешних связей) создают на участках стержня моменты сил относительно продольной оси стержня (примем за продольную ось - ось х) и координатных осей y и z, лежащих в плоскости рассматриваемого поперечного сечения. Для круглого поперечного сечения стержня любые оси поперечного сечения, проходящие через его центр тяжести - главные центральные оси. Поэтому оси y и z являются главными центральными осями инерции поперечного сечения.

Рисунок 1.1 - Схема нагружения стержня внешними силами

Характерный вид такого нагружения показан на рисунке 1.1. Стержень (вал) установленный на опорах А и В, имеет жесткие диски 1 и 2, плоскость которых перпендикулярна продольной оси стержня х. В плоскости этих дисков соответственно в точках К1 и К2 приложены силы Р1 и Р2.

Положение точки К1 на окружности радиуса О1К1 зададим углом бК1 между осью y и радиусом O1К1. Положение точки К2 на окружности радиуса О2К2 зададим углом бК2 между осью y и радиусом. Если ось y до совмещения с радиусом OiКi поворачивается против часовой стрелки, то угол бКi считается положительным, если по часовой стрелке - то отрицательным.

Предположим, что линии действия сил Р1 и Р2 составляют с касательными к окружностям в точках К1 и К2 соответственно углы б1 и б2. Полагаем также, что под действием сил Р1 и Р2 стержень находится в состоянии покоя или равномерного вращения (состоянии статического равновесия).

1.2 Составление расчетной схемы

При составлении расчетной схемы стержня силы Р1 и Р2, приложенные в точках К1 и К2 вне продольной оси стержня, необходимо привести к продольной оси стержня, выбрав в качестве центра приведения для силы Р1 точку О1, а для силы Р2 - точку О2. Точки О1 и О2 - это точки пересечения плоскости дисков 1 и 2 с продольной осью стержня.

При приведении силы P1 из точки K1 в точку O1 необходимо добавить момент силы P1 относительно центра приведения (момент M1). Модуль момента M1 равен:

M1= O1K1·P1·сosб1,

где P1t = P1 cosб1 - модуль окружной составляющей силы P1 (модуль проекции силы P1 на касательную к окружности в точке K1);

D1 - диаметр окружности с радиусом K1O1.

Процедура определения сил и моментов в ряде задач может быть обратной. По постановке задачи вначале может быть определен модуль момента силы P1 относительно точки O1 (момент M1). Затем при известном значении диаметра D1 может быть определен модуль проекции силы P1 на касательную в точке K и модуль силы P1:

При приведении силы P2 из точки K2 в точку O2 необходимо добавить момент силы P2 относительно центра приведения (момент M2). Модуль момента M2 равен:

M2= O2K2·P2·сosб2,

где P2t = P2cosб2 - модуль окружной составляющей силы P2 (модуль проекции силы P2 на касательную к окружности в точке K2);

D2 - диаметр окружности с радиусом K2O2.

Если по условию задачи вначале удается определить модуль момента силы P2 относительно точки O2 (момент M2), то при известном значении диаметра D2 может быть определен модуль проекции силы P2 на касательную в точке K2 и модуль силы P2, т. е.

На рис. 1.2, а в плане показан диск 1 (если смотреть на диск 1 со стороны продольной оси х), точки K1 и O1, сила P1, приведенная к точке O1, и момент M1, равный модулю момента силы P1 относительно точки O1

Рисунок 1.2

Так как силы P1 и P2 могут быть расположены к оси y под разными углами б1р и б2р (рис. 1.2), целесообразно эти силы после приведения их к точкам O1 и O2 разложить на составляющие Pу1, Pу2 и Pz1, Pz2, линии действия которых параллельны соответствующим осям y и z. В этом случае мы приходим к единым плоскостям нагружения стержня (нагружение в плоскости x-y, нагружение в плоскости x-z). На рис. 1.3, а в плане показан диск 1, силы P1y и Pz1, а также момент M1.

Проекции сил P1y и Pz1 на координатные оси y и z могут быть найдены как:

P1y = P1 cos бр,

Pz1 = P1 sin бр.

На рис. 1.3, б в плане показан диск 2, силы Pу2 и Pz2, а также момент M2. Проекции сил Pу2 и Pz2 на координатные оси y и z могут быть найдены как:

P1y = P1 cos бр,

Pz1 = P1 sin бр.

Рисунок 1.3

Изобразим расчетную схему стержня с действующими на него силами на рис. 1.4

Рисунок 1.4

Так как стержень находится в состоянии статического равновесия, то из условий равновесия следует, что сумма моментов сил относительно продольной оси x должна быть равна нулю:

? Mx (Pi) = 0.

Если пренебречь трением в опорах А и В стержня, то:

? Mx (Pi)= -М1 + М2=0.

Из условия равновесия следует:

-М1 + М2=0, М2=М1,

откуда:

т.е. в условии статического равновесия отношение окружных составляющих сил P1t и P2t обратно пропорционально отношению диаметров окружностей D1 и D2, на которых лежат точки приложения сил (точки K1 и K2).

Равенство при известных значениях D1 и D2 позволяет определить P2t (если найдено значение P1t) или, наоборот, определить P1t (если найдено значение P2t):

Используя принцип независимости действия сил, расчетную схему стержня (рис.1.5, а) можно представить в виде следующих расчетных схем:

Рисунок 1.5

1.3 Напряжения в точках поперечного сечения при изгибе с кручением

Рассмотрим поперечное сечение стержня (рис. 1.6), испытывающего изгиб с кручением. В поперечном сечении действуют следующие внутренние силовые факторы: поперечные силы Qу и Qz, изгибающие моменты Mу и Mz, крутящий момент Mх.

Рисунок 1.6

Плоскость действия изгибающих моментов Mу и Mz проходит через главные центральные оси y и z поперечного сечения. Используя принцип независимости действия сил, можно задачу определения напряжений в точках поперечного сечения свести к задачам определения напряжений в точках поперечного сечения при поперечном изгибе, рассматривая отдельно поперечный изгиб стержня в плоскости x-y и поперечный изгиб стержня в плоскости x-z, а также определения касательных напряжений ф(Мх) в точках поперечного сечения от действия крутящего момента Mх.

Касательные напряжения ф(Мх) в произвольной точке поперечного сечения, имеющей координаты y и z (рис. 1.7, а), при кручении стержня круглого поперечного сечения определяются по формуле:

где - расстояние от рассматриваемой точки С до точки О продольной оси стержня; Jр - полярный момент инерции поперечного сечения относительно точки О; y и z - координаты точки, где определяются касательные напряжения.

При поперечном изгибе при нагружении стержня в плоскости x-y в произвольной точке поперечного сечения возникают нормальные напряжения у(Мz) от действия изгибающего момента Mz (рис. 1.7, б):

где Jz - момент инерции поперечного сечения относительно оси z;

y - координата точки...