Книга Куранта-Гильберта „Методы математической физики" еще до своего появления на русском языке приобрела заслуженную популярность среди советских математиков и физиков. Ее выход в свет у нас является ценным вкладом в нашу математическую культуру. Меньше всего она претендует на роль учебника: столь многообразный материал (линейная и квадратическая алгебра, теория интегральных уравнений, линейные диференциальные уравнения, обыкновенные и в частных производных, основы вариационного исчисления, теория разложения, функциональные ряды и теория специальных классов функций) не может, при сохранении стиля учебника, уместиться в рамках.одной книги. Она приближается скорее к типу монографии, в которой дается освещение различных математических теорий с новой точки зрения. Поэтому ценность книги прежде всего методологическая — читатель на классическом материале знакомится с теми методами, которые являются движущими в современном анализе. В книге содержатся прекрасные образцы применения алгебраических, геометрических и вариационных методов к разрешению фундаментальных проблем анализа. Эти методы связаны в современной математике прежде всего с именем Д. Гильберта, крупнейшего математика XX в., руководителя геттингенской математической школы. Фактический автор книги, один из виднейших представителей современного анализа Р. Курант, ставя имя Гильберта в заглавии этой книги, подчеркивает ее связь с кругом идей Гильберта.
Тесная связь анализа с алгеброй была характерной для героического периода развития анализа — для математики XVIII в. Основные операции анализа — диференцирование, интегрирование—заключаются в наложении предельного перехода на алгебраические операции, и потому всякую задачу анализа можно с большим правом рассматривать как результат наложения предельного перехода на алгебраическую задачу. В задаче анализа мы имеем алгебраическое ядро и теоретико-функциональную оболочку, накладываемую предельным переходом. Математика XVIII в. умела проникновенно находить это алгебраическое ядро, но она не видела второй стороны. В качестве примера приведу разложение на элементарные множители Эйлером некоторых трансцендентных (с точки зрения теории функций комплексного переменного — целых аналитических функций) по их нулям, путем распространения на них метода разложения полиномов. Исследования же Вейерштрасса показали, что всякая целая функция в самом деле разлагается по своим нулям, но это разложение только в весьма ограниченных случаях будет иметь тот же вид, что и разложение полиномов. Последняя часть XIX в. и начало XX в. были посвящены более глубокому изучению соотношения между предельными элементами и допредельными; это изучение, вылившееся в создание важнейшей дисциплины, теории
