Основная часть этой книги написана двадцать лет назад. За это время идеи и методы симплектической геометрии, на которых основана книга, нашли многочисленные применения как в математической физике и других областях приложений, так и в самой математике. В особенности следует отметить бурное развитие теории коротковолновых асимптотик, с их приложениями в оптике, теории волн, акустике, спектроскопии и даже химии, и одновременное развитие теории лагранжевых и лежандровых особенностей и многообразий, т. е. теорий особенностей каустик и волновых фронтов, их топологии и их перестроек.
Необыкновенно далеко продвинулось исследование интегрируемых задач гамильтоновой динамики. Было открыто неожиданно большое число интегрируемых динамических систем, изучение которых привело к неожиданным и взаимообогащающим связям этих вопросов с трудными проблемами алгебраической геометрии и математической физики.
Большие успехи достигнуты за последние годы в симплектической топологии. Здесь прежде всего выделяется доказательство теоремы о неподвижных точках симплектических диффеоморфизмов, обобщающей «геометрическую теорему» Пуанкаре (добавление 9), полученное в 1983 г. Ш. Конли и Э. Цендером. За этим доказательством последовали работы М. Шаперона, А. Вейн-стейна, Ж.-К. Сикорава, М. Громова, Ю. Чеканова, Флоера, Витербо, Хофера и др. Я надеюсь, что в этой интенсивно развивающейся сейчас области вскоре будет достигнут еще больший прогресс, который приведет к доказательству сформулированных и открытию новых теорем симплектической и контактной топологии — новой области математики, вызванной к жизни вопросами механики и оптики.
В настоящее издание включено три новых добавления. Они отражают новое развитие геометрии систем лучей (теории особенностей и перестроек каустик и волновых фронтов, связанной с теорией групп, порожденных отражениями), теории интегрируемых систем (геометрической теории эллиптических координат, приспособленной для бесконечномерных обобщений) и теории пуассоновых структур (часто встречающихся в математической физике обобщений симплектических структур, отличающихся тем, что скобки Пуассона вырождаются).
