Предлагаемая вашему вниманию книга написана по материалам лекций для младшекурсников, которые читались авторами в разные годы на механико-математическом факультете МГУ. (В этой серии уже вышли книги «Начала теории множеств» и «Вычислимые функции».)
Центральная идея математической логики восходит ещё к Лейбницу и состоит в том, чтобы записывать математические утверждения в виде последовательностей символов и оперировать с ними по формальным правилам. При этом правильность рассуждений можно проверять механически, не вникая в их смысл.
Усилиями большого числа математиков и логиков второй половины XIX и первой половины XX века (Буль, Кантор, Фреге, Пеано, Рассел, Уайтхед, Цермело, Френкель, Гильберт, фон Нейман, Гёдель и другие) эта программа была в основном выполнена. Принято считать, что всякое точно сформулированное математическое утверждение можно записать формулой теории множеств (одной из наиболее общих формальных теорий), а всякое строгое математическое доказательство преобразовать в формальный вывод в этой теории (последовательность формул теории множеств, подчиняющуюся некоторым простым правилам). В каком-то смысле это даже стало определением: математически строгим считается такое рассуждение, которое можно перевести на язык теории множеств.
Так что же, теперь математики могут дружно уйти на пенсию, поскольку можно открывать математические теоремы с помощью компьютеров, запрограммированных в соответствии с формальными правилами теории
