Эта книга представляет собою руководство, написанное применительно к действующим учебным программам наших университетов. Имея в виду все возрастающее значение теории функций в системе образования математиков, я включил в книгу (мелким шрифтом) также и ряд вопросов, выходящих за пределы программы.
Теория функций вещественной переменной излагается в университете, начиная с третьего курса. Поэтому у читателя предполагается свободное владение основными понятиями анализа: иррациональные числа, теория пределов, важнейшие свойства непрерывных функций, производные, интегралы, ряды считаются известными в объеме любого обстоятельного курса дифференциального и интегрального исчисления.
Большинство глав книги сопровождается упражнениями. Читатель должен быть предупрежден, что они, как правило, довольно трудны и требуют подчас весьма значительного напряжения. Тем не менее, лицам, желающим основательно усвоить предмет, я настоятельно советую постараться решить хотя бы часть приводимых задач.
В своем настоящем виде эта книга является переработкой моей более ранней книги „Основы теории функций вещественной переменной", вышедшей небольшим тиражом в 1941 году в издании Ленинградского университета и в скором времени полностью разошедшейся. Мысль о переиздании этой, более ранней книги возникла уже довольно давно и отчасти была осуществлена издательством „Радянська школа", выпустившим расширенный украинский перевод книги, выполненный доцентом Киевского университета С. И. Зуховицким.
Профессор Е. Я. Ремез, бывший рецензентом упомянутого выше украинского перевода, сделал по поводу него ряд ценных указаний, которыми я воспользовался и при подготовке настоящего издания. Кроме того, я весьма обязан профессорам Н. К- Бари, Д. К. Фдддееву и, особенно, Г. М. Фихтенгольцу за многочисленные советы и указания. Искренно благодарю всех названных лиц.
