ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА — 1) Универсальная алгебра, являющаяся топологич. пространством, в к-ром непрерывны все сигнатурные операции.
2) Алгебра (в смысле «операторное кольцо») А над топологич. полем или коммутативным кольцом R, являющаяся топологич. пространством, операции сложения и умножения в к-ром, а также отображение RХА ->- А ((г, а) ~> га), непрерывны. Пример Т. а. над нолем комплексных чисел — банаховы алгебры.
3) Раздел алгебры, к-рый занимается изучением топологич. алгебраич. систем, то есть групп, полугрупп, колец, решеток, векторных пространств, модулей и др., наделенных топологиями, в к-рых рассматриваемые алгебраич. операции непрерывны.
Понятие топологической группы возникло в связи с рассмотрением групп непрерывных преобразований. Так, во 2-й пол. 19 в. С. Ли (S. Lie) и его школа создали развитую теорию важного класса топологич. групп — групп дифференцируемых преобразований многообразий в себя, получивших впоследствии название Ли групп. Изучение общих топологич. групп началось в 20-е гг. 20 в. (см. [1], [2]). С нач. 30-х гг. топологич. группы, кольца и поля подвергли.]) уже систелгатич. изучению.
А. Н. Колмогоровым [3] был развит аксиоматич. подход к исследованию топологических проективных геометрий. Их классификация существенно зависела от описания локально компактных тел. Полное описание связных локально компактных тел было дано в 1932 Л. С. Понтрягиным (см. [4], гл. 4).
Многочисленные проблемы анализа привели к общему определению банахова пространства (см. также [5]), что создало предпосылку для систематич. изуче-
