Формальная цель книги, предлагаемой вниманию читателей, — подробное изложение свойств так называемых многочленов Холла. Такое изложение появляется впервые, хотя эти многочлены были введены Ф. Холлом еще в 1950-х годах. При первом взгляде на определение этих многочленов (см. ниже предисловие автора) может показаться, что область их применимости весьма ограничена. Оказывается, однако, что они естественно возникают во многих ситуациях. Два приложения многочленов Холла к теории представлений групп приведены в двух последних главах книги — здесь вычислены характеры полной линейной группы над конечным полем, а также сферические функции полной линейной группы над р-адическим полем относительно ее максимальной компактной подгруппы. Специалист оценит важность этих результатов; однако значение многочленов Холла и ценность книги И. Макдональда ими далеко не исчерпываются.
Теория многочленов Холла тесно связана с классической теорией симметрических функций. Эта теория берет начало в работах И. Ньютона, Э. Варинга, К. Г. Я- Якоби и К. Кост-ки, а в нашем веке ее развитие связано с именами И. Шура, А. Юнга, А. Ричардсона, Д. Е. Литтлвуда и многих других математиков. В ней много красивых неожиданных тождеств, кульминацией которых является знаменитое правило Литтлвуда— Ричардсона для умножения функций Шура. Изложению теории симметрических функций посвящена первая глава книги, представляющая большой самостоятельный интерес.
Интерес к теории симметрических функций в последние годы возродился с новой силой, в основном в связи с приложениями к комбинаторике, алгебраической геометрии и теории представлений. В комбинаторике симметрические функции играют важную роль в исследовании таких объектов как перестановки, целочисленные матрицы, диаграммы и таблицы Юнга, разбиения и их многомерные аналоги и т. д. Приложения к алгебраической геометрии охватывают исчисление Шуберта, теорию характеристических классов и теорию А,-ко-лец Гротендика. В теории представлений помимо уже упоминавшихся приложений, симметрические функции играют важную роль при изучении представлений симметрических групп, унитарных групп, полных линейных групп над С, а также остальных классических компактных и комплексных групп. Из совсем новых областей приложения симметрических функций отметим активно развивающуюся сейчас теорию представлений бесконечномерных групп и алгебр Ли и тесно
