Изучение римановой геометрии стимулируется в настоящее время современной физической интерпретацией внутренней дифференциальной геометрии пространств. Теория поверхностей, развитая Гауссом, была обобщена на пространства любого числа измерений Риманом, которому и принадлежат основные идеи этой общей теории.
В дальнейшем важные дополнения были сделаны Бианки, Бельтрами, Кристоффелем, Шуром, Фоссом и другими. Риччи, используя созданное им абсолютное дифференциальное исчисление и тензорный анализ, расширил и собрал воедино все имевшиеся результаты общей теории. В настоящее время риманова геометрия представляет собой обширную и развивающуюся науку. Моя книга имеет своей целью дать представление о ее современном состоянии.
На протяжении всей книги я систематически использую методы тензорного анализа и абсолютного дифференциального исчисления Риччи и Леви-Чивита. Основы тензорного анализа даны в первой главе. Форма и объем изложения не предполагают у читателя предва. рительного знакомства с предметом и, разумеется, не исчерпывают всего его содержания.
Многие (если не все) авторы работ по римановой геометрии ограничивались изучением пространств с метрикой, заданной положительно определенной квадратичной дифференциальной формой. Между тем, в теории относительности используется пространство с неопределенной основной формой. В силу этого в моей книге на основную квадратичную форму не накладывается указанное выше ограничение. Многие результаты старой теории получили поэтому здесь соответственно измененную форму; иднако в этом направлении сделано еще далеко не все.
Теория параллельного перенесения векторов в римановом пространстве, созданная Леви-Чивита и развитая другими авторами, изложена во второй главе и используется в других частях книги. Я не касался здесь обобщений теории параллельного перенесения
