Мёбиусовы преобразования — это композиции конечного числа инверсий относительно сфер в евклидовом пространстве R" (точнее, его пополнении Rra=R"U {oo}). Они занимают особое место в математике. На комплексной плоскости это простейшие конформные отображения, а в размерности п > 2 все конформные отображения областей в R" по теореме Лиувилля являются мёбиусовыми. Группа всех мёбиу-совых преобразований пространства R" конечномерна, а ее подгруппа, составленная из отображений, сохраняющих ориентацию, изоморфна SO (п + 1, 1).
Роль мёбиусовых преобразований обусловлена, во-первых, их важным значением для теории униформизации и, во-вторых, тем, что они служат движениями в модели Пуанкаре пространства Лобачевского, реализуемой на шаре Вп или, что равносильно, на полупространстве R+. Можно добавить, что всякое односвязное полное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны изометрично шару В" с гиперболической метрикой Пуанкаре — Лобачевского. На этом пути и возникает исключительно содержательная теория с разнообразными приложениями к дифференциальной геометрии, теории гармонических функций на симметрических пространствах, общей теории гиперболических многообразий, теории разрывных групп, эргодической теории и другим областям математики.
Эти вопросы и составляют содержание новой книги выдающегося современного аналитика Ларса Альфорса, основанной на его курсе лекций в Миннесотском университете в 1980 г. Несмотря на небольшой объем, книга не только хорошо вводит читателя в указанные области, но и подводит его к современному состоянию и самым последним исследованиям в теории разрывных групп и теории пространственных отображений.
Разумеется, многие важные разделы, интенсивно исследуемые в последние годы, остались за пределами книги. Это, например, вопросы жесткости деформаций пространственной гиперболической структуры, связанные с известной теоремой Мостова и смежными результатами; проблема существования конформной структуры на многообразиях; проблема описания многообразий, допускающих введение гиперболической структуры; теория многообразий с особенностями, примерами которых служат факторпространства Вп/Т, где Г — разрывные группы мёбиусовых автоморфизмов с кручением, и др.
