Настоящая книга представляет собой перевод второго тома известной двухтомной монографии Д. Гильберта и П. Бернай-са «Основания математики». Перевод выполнен со второго немецкого издания, вышедшего в 1970 г. Второй том написан как продолжение первого. Однако его можно читать независимо, так как в Приложении I приводится конспективное изложение содержащихся в первом томе понятий и результатов, используемых во втором томе. Читатель, не знакомый с первым томом, должен начать чтение книги с Приложения I. Перевод первого тома опубликован издательством «Наука» в 1979 г. с подзаголовком «Логические исчисления и формализация арифметики».
О достоинствах монографии Гильберта и Бернайса и о ее роли в развитии идей и методов математической логики уже говорилось в моем предисловии к русскому изданию первого тома. Все, что было сказано о книге в этом предисловии, относится в полной мере и ко второму тому. По предложению издательства для второго тома был введен подзаголовок «Теория доказательств», который полностью соответствует содержанию тома.
Во втором томе подробно излагаются и обсуждаются результаты теории доказательств, относящиеся к логическим исчислениям и к формализованной арифметике. Это известная теорема Эрбрана, дающая важный критерий выводимости формул в исчислении предикатов, теорема Чёрча о невозможности алгоритма, распознающего выводимые формулы исчисления предикатов, теорема Гёделя о неполноте арифметических исчислений и различные доказательства непротиворечивости формализованной арифметики. Особую ценность представляет подробное обсуждение используемых при доказательстве непротиворечивости арифметики средств, выходящих за рамки первоначальной финитной точки зрения Гильберта. В книге проводится мысль, что привлечение новых достаточно надежных средств для доказательства непротиворечивости формализованной арифметики следует рассматривать не как отказ от первоначальных ме-
