Как пишет сам автор в предисловии, эта книга не является ни «основами», ни обзором современной дифференциальной геометрии. Первые три ее главы следует рассматривать как введение в дифференциальную геометрию, а остальные четыре дают далеко продвинутое и подробное изложение отдельных вопросов, а именно вариационного исчисления на многообразиях, теории групп Ли, дифференциальной геометрии евклидова пространства и геометрии G-структур (вместе с теорией связностей).
Особенностью книги является то, что в ней сочетается изложение некоторых замечательных результатов «классической» дифференциальной геометрии (например, результаты Гаусса по теории поверхностей и новые исследования в этом направлении) с «современным» аспектом этой науки, который принято рассматривать как изучение так называемых «инфинитезимальных структур» на многообразиях. При этом показывается, как классическая теория кривых и поверхностей в евклидовом пространстве может быть выведена из общих фактов теории групп Ли и расслоенных пространств.
Большой интерес представляет последняя глава книги, в которой изложены идеи и результаты Э. Картана по проблеме эквивалентности G-структур. Читатель получает полное представление о той роли, которую играет в дифференциальной геометрии понятие расслоенного пространства *). В частности, касательное и кока-сательное расслоения служат в гл. IV естественными рамками
