148 Общие замечания. Выше (§ 5) мы имели общие условия сходимости |>яда. На практике, для того чтобы узнать, является ли данный ряд сходящимся или расходящимся, всего чаще пользуются признакам» менее общими, но зато более удобными для применения. Мы приведем из них лишь наиболее употребительные, которые оказываются достаточными для большинства приложений. Сначала мы сделаем несколько замечаний, которые непосредственно выводятся из самого определения сходимости:
1) Если мы умножаем все члены ряда на постоянное число а, отличное о г нуля, то новый ряд сходится или расходится одновременно-с первым; если первый ряд сходится и имеет суммой S, то сумма второго-ряда равна aS.
2) Если мы имеем два сходящихся ряда:
•°o+.vi+v2-\- ■■• +«»+••■> (2)
суммы которвх, соответственно, равны 5 и S1, то новый ряд, получаемый их почленным сложением,
("о-Ь*„) + («14-ъ) + ... + («„ +>„) 4- -.., (3>
сходится и имет суммой S-^-S1. Аналогичный результат мы имеем,, складывая почлано р сходящихся рядов.
3) Если мы вменим значения конечного числа членов ряда, то новый ряд сходится илирасходится одновременно с первым, так как это изменение эквивалентно увеличению или уменьшению всех сумм Sn, начиная с достаточно больаого значения п, на некоторое постоянное. В частности, ряд является холящимся или расходящимся одновременно с рядом, который мы полуаем, отбрасывая некоторое число членов начиная с первого.
4) Пусть будут 5—сумма сходящегося ряда, Sn — сумма п-\-\ первых членов этогоряда, a Rn—сумма ряда, начинающегося с члена и„+1; если мы возьми за приближенное значение 5 сумму Sn я4 1 первых членов, то оцибка, которую мы делаем, очевидно, равна Rn. Так как Sn имеет праелом S, когда п неограниченно возрастает, то» разность Rn стремится нулю, и мы всегда можем взять, по крайней мере, теоретически, дос^точно большое число членов, чтобы ошибка,
