Перед вами глубокая по идеям и необычная по стилю книга, посвященная гиперболическим группам — новому и стремительно развивающемуся разделу геометрической теории групп. Впервые опубликованная в 1987 году в виде статьи в сборнике1, она сразу же привлекла внимание многих специалистов по комбинаторной теории групп, теории дискретных групп, топологии, дифференциальной геометрии и анализу.
Ее автор Михаил Громов вводит (словесно) гиперболические группы, далеко обобщающие фундаментальные группы компактных римановых многообразий отрицательной кривизны, и предлагает исследовать их методами, аналогичными методам исследования дискретных групп движений классических гиперболических пространств.
Имеются геометрические и алгебраические определения гиперболических групп. Начнем с геометрических, так как именно геометрия является здесь источником вдохновения. Пусть G — группа с фиксированной системой порождающих X. Для простоты предположим, что X не содержит единичного элемента и вместе с каждым элементом х содержит также их"1.
Графом Кэли группы G относительно системы X называется геометрическая реализация C(G,X) симшшциального графа, вершины которого отождествляются с элементами группы G, причем вершины д\ и gi соединяются ребром тогда и только тогда, когда д^дъ € X. Этот граф можно превратить в метрическое пространство так, чтобы каждое ребро стало изометрично замкнутому интервалу длины 1. Действие группы G на себе левыми умножениями продолжается до изометрического действия G на графеС(С,Л").
Чтобы понять геометрическую мотивировку определения гиперболичности, рассмотрим в качестве примера фундаментальную группу G компактного риманова n-мерного многообразия отрицательной кривизны. Имеется стандартный прием, позволяющий квазиизометрически вложить ее граф Кэли C(G, X) в гиперболическое пространство Нп размерности п. Это означает, что расстояние между любыми двумя точками в графе C{G, X) оценивается снизу и сверху линейными функциями от расстояния между образами этих точек в Нп.
