1. Гомологическая алгебра сравнительно молода, се предмет восходит к двум сериям исследований конца прошлого века, давшим начало комбинаторной топологии и «современной алгебре» (в смысле ван дер Вардена) соответственно. В качестве главных понятий, унаследованных от этого раннего этапа, можно назвать числа Бетти топологических пространств и «теорему о цепях сизигий» Д. Гильберта (1890 год).
Сейчас мы легко различаем общую конструкцию, с которой связано возникновение этих понятий. Топологическое пространство X склеено из клеток (или симплексов) разных размерностей t; граница клетки есть линейная комбинация клеток; граница границы равна нулю: t'-e число Бетти есть количество независимых цепей с нулевой границей (циклов) с точностью до цепей, которые сами являются границей, то есть ранг группы Ker di/Im ^4_1, 6\ : С;->С^_1 — граничный оператор, d — t-мерные цепи. «Сизигии» возникают из другой задачи. Пусть М — градуированный модуль с конечным числом образующих над кольцом многочленов A = h[x\,..., хп] над полем k (градуированных степенью). Гильберт рассматривал случай, когда М — идеал в А, порожденный формами. Вообще говоря, образующие М нельзя выбрать независимыми. Фиксировав систему г0 образующих, мы получаем подмодуль в Аг°. состоящий из коэффициентов всех соотношений между выбранными образующими. Он естественно градуирован и называется «первым модулем сизигий» Zo(M) модуля М. Положим Zi(M)=Z0(Zi-i(M)) для С^1 (на каждом шаге возникает произвол в выборе системы образующих Z;_i(Al)). Теорема Гильберта утверждает, что Zn-i (M) — свободный модуль, то есть всегда можно считать, что Zn(M)=0.
Алгебраический костяк обеих конструкций —это комплекс:
di последовательность модулей и гомоморфизмов ...->Кt-+Кi-\->•■• с условием <?г_!^(=0. Комплекс цепей пространства X определяет его гомологии Ht (Х) = Кет dillmdi+x. Комплекс Гильберта состоит из свободных модулей. Он ацикличен, кроме конца: Zi{M)-~ это одновременно циклы и границы свободной резольвенты модуля М:
д, до
. д'п_^а'«-1_^ ,..-+ATl-*A Го-*0-
М^Кег<Э0=ЛГо/1тд1
Оба комплекса — цепи пространства X и резольвента модуля М — определены далека не однозначно: они зависят от выбора разбиения X на клетки или от выбора последовательных систем образующих модулей сизигий. Содержание первых
