Le present travail est consacre a la theorie du complexe cotangent sur les topos anneles (globalisation du formalisme d'Andre ([1], [2]) et Quillen ([24] [25])), et a des applications de celle-ci a quelques problemes de deformation infi-nitesimale globale. Les plus interessantes concernent des calculs d'obstructions a
la deformation de schemas en groupes plats commutatifs, calculs qui jouent un
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r61e-clef dans les travaux recents de Grothendieck ( ) et Messing ( ) sur les
groupes de Barsotti-Tate.
Voici, brievement, le contenu des divers chapitres.
Le chapitre I rassemble le materiel d'algebre homologique necessaire a la construction et 1'etude des proprietes du complexe cotangent. Nous introduisons la notion de faisceau d'homotopie d'un faisceau simplicial et prouvons une variante globale d'un theoreme de Whitehead [9], a savoir que si un morphisme f : X —> Y de faisceaux simpliciaux induit des isomorphismes sur les faisceaux d'homotopie en tout degre, il en est de m6me du morphisme 2Z (f) : 7L (X) —> 7L (Y) induit sur les 7L -Modules simpliciaux libres engendres. En "inversant" les fleches qui indui-sent des isomorphismes sur les faisceaux d'homotopie, on definit diverses categorie! "derivees", generalisations communes des categories derivees de Verdier [27] et des categories homotopiques de Quillen [23]. En raison de son importance pour la theorii du complexe cotangent, nous etudions plus specialement la categorie derivee des Modules sur un Anneau simplicial : triangles distingues, Ext , produit tensoriel derive. Le dernier paragraphe contient la definition des foncteurs derives de certains foncteurs non additifs sur la categorie derivee D~ d'un topos annele, et les analogues globaux des isomorphismes de decalage de Quillen ([24] 7.21).
( ) A. Grothendieck, Cristaux et modules de Dieudonne, expose au Congres International des Mathematiciens, Nice (1970), et Cours au College de France, 70-71 et 71-72.
о ( ) W. Messing, The Crystals associated to Barsotti-Tate Groups, with Applications
to Abelian Schemes, Thesis, Princeton (1971), a paraltre.
