Точные решения уравнений физики могут быть получены только для ограниченного круга задач. Например, в случае скалярного уравнения Гельмгольца метод разделения переменных может быть применен лишь для 11 типов координатных систем (см. по этому поводу § 5.1). Если поверхность, на которой заданы граничные условия, не совпадает ни с одной из соответствующих координатных поверхностей или граничные условия не являются простыми условиями типа Дирихле или Неймана, то метод разделения переменных неприменим. Если рассматривается • уравнение Шредингера, то число координатных систем, допускающих разделение переменных, может резко уменьшиться, так как разделение возможно только для частных видов зависимости потенциальной энергии от координат.
Подобное положение вещей имеет место и для интегральных уравнений. Здесь решения могут быть получены — например, при помощи интегральных преобразований — только в случаях, когда ядро интегрального уравнения имеет специальный вид. Так, например, преобразование Фурье применимо, если ядро представляет собой функцию, зависящую от разности двух переменных, а область интегрирования простирается от — со. до -(-оо или от 0 до оо. Таким образом, очень редко задача относится; к классу точно разрешимых, так что обычно мы сталкиваемся с необходимостью развития достаточно сильных приближенных методов. Более того, мы увидим, что даже для задач, допускающих точное решение, иногда удобнее применять приближенные методы, так как вычисление точного решения может оказаться слишком сложным.
Отклонения от задачи, допускающей точное решение, мы будем называть возмущениями. Поверхностными возмущениями мы будем называть отклонения граничной поверхности, или граничных условий, или того и другого соответственно от поверхности и условий, допускающих точное решение. Например, мы можем пожелать определить резопапепые частоты объема с трапецией в поперечном сечении, так что поверхность, ограничивающая этот объем, не является координатной поверхностью ни одной из 11 координатных систем, допускающих разделение переменных в скалярном уравнении Гельмгольца. Или поперечное сечение может быть прямоугольным, но стенки могут быть так акустически обработаны, что граничные условия уже не будут однородными условиями Неймана.
Объемными возмущениями мы назовем отклонения внутри объема, которые выводят задачу из класса точно разрешимых. Например, потенциал в уравнении Шредингера может быть таким, что уравнение не допускает разделения переменных. Это, вообще говоря, имеет место в случае, когда две взаимодействующие частицы или большее их число движутся в центральном поле сил, или в частном случае одной частицы, движущейся в поле, порожденном несколькими центрами сил. Уравнение Шредингера для двух электронов, движущихся в поле атомного ядра с зарядом Ze,
